Terminale S: Suite et PGCD
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Terminale S: Suite et PGCD



  1. #1
    invite6bfac530

    Terminale S: Suite et PGCD


    ------

    Bonjour, voici un exercice sur lequel je bute:
    On utilisera dans cet exercice PGCD (a,b) = PGCD (a²,b²)
    Une suite (Sn) est définie pour n>0 par

    _n_
    \ p^3
    /__
    p=1

    on se propose de calculer pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.
    demontrer que, pour tout n>0 on a Sn = (n(n+1)/2)²

    Etude ou n est pair:
    soit k l'entier naturel non nul tel que n=2k+1
    a)Demontrer que PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)
    b) calculer PGCD (k, k+1)

    c) Calculer PGCD (S2k, S2k+1)

    Etude ou n est impair
    Soit k m'entier naturel non nul tel que n=2k+1
    a) demontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entres eux.
    b)Calculer PGCD de (S2k+1, S2+2)

    4)déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de n que l'on detreminera pour laquelle, Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.
    En rouge, les questions que je n'arrive pas faire:
    pour la premiere question, pouvez vous me confirmer que
    Sn = 1^3 + 2^3 +...+ n^3 ?
    On sait que la somme d'une suite arithmétique est
    (n+1)/2 x (U0+Un)
    et je trouve : (n+1) x n^3)/2
    Que dois-je faire ensuite.

    Ensuite je n'ai pas bien compris la question 2/c)

    Pouvez vous m'aider svp?
    Merci

    -----

  2. #2
    invite9c9b9968

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Pourquoi tu emploies la formule de la somme d'une série arithmétique, alors que la série n'est pas arithmétique ?

    Une idée utile pour trouver le résultat : tu développe (p+1)4 et ensuite tu fais

    Tu peux aussi utiliser une récurrence

  3. #3
    invite6bfac530

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Avant tout merci pour votre réponse,
    Mais je ne comprend pas bien, pouquoi utiliser (1+p)^4? Dans la formule j'ai P^3

    J'ai effectuer le calcul (1+p)^4-p^4, je trouve

    4(p^3+p²+p) + 1

    Que puis-je en faire?
    Merci

  4. #4
    invite9c9b9968

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Que se passe-t'il si tu mets les symboles somme devant ? Sans développer, que vaut ? Si je te dis "série télescopique" par exemple ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite6bfac530

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    mmh Je n'ai jamais entendu parler de ce terme en classe... En quoi cela consiste?
    Merci

  7. #6
    invite9c9b9968

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Cela consiste en le fait que tous les termes s'annulent deux à deux hormis le premier et le dernier, comme tu peux le constater :


  8. #7
    invite407f5bc4

    Unhappy Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Bonjour, ... et bonne année !!!

    J'aimerait revenir sur l'Etude ou n est pair:
    soit k l'entier naturel non nul tel que n=2k
    a)Demontrer que PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)

    Je ne vois pas comment démontrer cela.
    Je pense qu'on peut utiliser la popriété : si m est le pgcd de a et b, alors le pgcd de ka et kb est km
    On obtient donc :
    S2k = (2k+1)²k² = 4k^4+2k^3+2k^2
    S2k+1 = (2k+1)²(k+1)²

    Pourtant si on calcule S2k avec la formule donnée : Sn = (n(n+1)/2)² et qu'on remplace n par 2k, on obtient 5k^2+4k^3.
    On a donc S2k = 4k^4+2k^3+2k^2 et S2k = 5k^2+4k^3.

    je ne vois pas trop où est l'erreur ... merci de m'éclairer

  9. #8
    invite407f5bc4

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    Mais peut être qu'il existe une autre démonstration moins laborieuse que la mienne ...

    Peut être qu'il ne faut pas chercher S2k avec la formule donné par Sn
    (Sn = (n(n+1)/2)²)



    Je tient aussi à rajouter, que dans S2k et Sn, 2k et n sont des indices car l'écriture ne paraît pas très claire.

  10. #9
    invite407f5bc4

    Re : Terminale S: Suite et PGCD

    C'est bon ... ue viens de trouver le truc !

    J'ai du faire une erreur de calcul.
    En effet, il faut bien utiliser la formule : (Sn = (n(n+1)/2)²)

    S2k= 4k²(2k+1)² /4
    = (2k+1)²k²

    S2k+1= (2k+1)² (2k+2)²/4
    = (2k+1)² 4( k+1)² /4
    = (k+1)² (2k+1)²

    propriété :si m est le pgcd de a et b, alors le pgcd de ka et kb est km

    PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)

    @+

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