Terminale S: Suite et PGCD

[invite6bfac530]

Bonjour, voici un exercice sur lequel je bute:

On utilisera dans cet exercice PGCD (a,b) = PGCD (a²,b²)
Une suite (Sn) est définie pour n>0 par

_n_
\ p^3
/__
p=1

on se propose de calculer pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.
demontrer que, pour tout n>0 on a Sn = (n(n+1)/2)²

Etude ou n est pair:
soit k l'entier naturel non nul tel que n=2k+1
a)Demontrer que PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)
b) calculer PGCD (k, k+1)
c) Calculer PGCD (S2k, S2k+1)

Etude ou n est impair
Soit k m'entier naturel non nul tel que n=2k+1
a) demontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entres eux.
b)Calculer PGCD de (S2k+1, S2+2)

4)déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de n que l'on detreminera pour laquelle, Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.

En rouge, les questions que je n'arrive pas faire:
pour la premiere question, pouvez vous me confirmer que
Sn = 1^3 + 2^3 +...+ n^3 ?
On sait que la somme d'une suite arithmétique est
(n+1)/2 x (U0+Un)
et je trouve : (n+1) x n^3)/2
Que dois-je faire ensuite.

Ensuite je n'ai pas bien compris la question 2/c)

Pouvez vous m'aider svp?
Merci
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[invite9c9b9968]

Pourquoi tu emploies la formule de la somme d'une série arithmétique, alors que la série n'est pas arithmétique ?

Une idée utile pour trouver le résultat : tu développe (p+1)⁴ et ensuite tu fais

Tu peux aussi utiliser une récurrence

[invite6bfac530]

Avant tout merci pour votre réponse,
Mais je ne comprend pas bien, pouquoi utiliser (1+p)^4? Dans la formule j'ai P^3

J'ai effectuer le calcul (1+p)^4-p^4, je trouve

4(p^3+p²+p) + 1

Que puis-je en faire?
Merci

[invite9c9b9968]

Que se passe-t'il si tu mets les symboles somme devant ? Sans développer, que vaut ? Si je te dis "série télescopique" par exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bfac530]

mmh Je n'ai jamais entendu parler de ce terme en classe... En quoi cela consiste?
Merci

[invite9c9b9968]

Cela consiste en le fait que tous les termes s'annulent deux à deux hormis le premier et le dernier, comme tu peux le constater :

[invite407f5bc4]

Bonjour, ... et bonne année !!!

J'aimerait revenir sur l'Etude ou n est pair:
soit k l'entier naturel non nul tel que n=2k
a)Demontrer que PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)

Je ne vois pas comment démontrer cela.
Je pense qu'on peut utiliser la popriété : si m est le pgcd de a et b, alors le pgcd de ka et kb est km
On obtient donc :
S2k = (2k+1)²k² = 4k^4+2k^3+2k^2
S2k+1 = (2k+1)²(k+1)²

Pourtant si on calcule S2k avec la formule donnée : Sn = (n(n+1)/2)² et qu'on remplace n par 2k, on obtient 5k^2+4k^3.
On a donc S2k = 4k^4+2k^3+2k^2 et S2k = 5k^2+4k^3.

je ne vois pas trop où est l'erreur ... merci de m'éclairer

[invite407f5bc4]

Mais peut être qu'il existe une autre démonstration moins laborieuse que la mienne ...

Peut être qu'il ne faut pas chercher S2k avec la formule donné par Sn
(Sn = (n(n+1)/2)²)



Je tient aussi à rajouter, que dans S2k et Sn, 2k et n sont des indices car l'écriture ne paraît pas très claire.

[invite407f5bc4]

C'est bon ... ue viens de trouver le truc !

J'ai du faire une erreur de calcul.
En effet, il faut bien utiliser la formule : (Sn = (n(n+1)/2)²)

S2k= 4k²(2k+1)² /4
= (2k+1)²k²

S2k+1= (2k+1)² (2k+2)²/4
= (2k+1)² 4( k+1)² /4
= (k+1)² (2k+1)²

propriété :si m est le pgcd de a et b, alors le pgcd de ka et kb est km

PGCD (S2k, S2k+1)=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)

@+