terminale: Suite

[invitede8a3ed2]

Bonjour! (Un) est une suite définie sur N* telle que pour tout n de N* on a :

n
Somme up= 2n² +7n
p=1

Il faut prouver que la suite est arithmétique. Je sais qu il faut que j exprime u_n+1 en fonction de U_n mais comment démarrer? merci
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[Gwyddon]

Tu as une idée pas mal pour partir, mais ce n'est pas la seule définition possible d'une suite arithmétique

En effet, si u(n+1)-u(n) = a, alors par définition elle est arithmétique. Donc si tu sommes, tu vois que u(n) = u(0)+ n*a .

Réciproquement, si u(n) = u(0) + n*a on voit facilement que u(n+1)-u(n) = a donc elle est arithmétique.

Ces deux définitions sont donc équivalentes

Essaie donc d'exprimer u(n) en fonction de n dans ton problème, et essaie de voir si u(n) vérifie le second critère que je t'ai donné.

[invitede8a3ed2]

Oui exact mais comment à partir de la valeur de la somme ( 2n² +7n ) on peut avoir U(n)?

p=1 veut dire que le premier rang est 1 non? ouue 1 est la premiere valeur?

J avais essayé 2n² +7n = (n-1)*(1+n)/2 mais sans succés!

[Gwyddon]

Je te le réécris en plus joli :

Je te suggère de travailler sur le membre de gauche de l'égalité, et de regarder v(n+1), voir ce que ça donne si on essaye de le relier à v(n), ce genre de chose...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede8a3ed2]

Peut on écrire V(n) = (n² -1)/2 = 2n² +7n ?

[Gwyddon]

Oui, c'est la définition de v(n) (c'est juste une notation que j'ai introduite pour pouvoir parler de la somme sans avoir à tout réécrire, surtout quand on veut voir v(n+1) ).

Mais ne cherche pas à transformer le membre de droite, laisse-le sous la forme

[invitede8a3ed2]

Est ce que v(n+1) = (n² + 2n ) /2 ?

[Gwyddon]

Je suis désolé, j'ai dit une bêtise, v(n) n'est pas égal à *(il suffisait de le voir sur le facteur devant n² ).

Là tu te compliques la vie. Oublie que v(n) = n² + 7n pour l'instant, ok ?

Je te demande juste une relation entre u(n) et v(n), très générale.

[invitede8a3ed2]

. Oublie que v(n) = n² + 7n pour l'instant, ok ?.

c 'est 2n₂+ 7n

comment définis tu U(n)? : est égal à quoi?

[Gwyddon]

En toute généralité, soit une suite , on définit une suite par

On peut aussi exprimer la suite en fonction de la suite (une relation très simple).

C'est ce que je te demande de trouver

[invitede8a3ed2]

Tu veux que j écrive U(n) en fonction de sa somme donc?

PLus c est simple, moins je vois... et plus j m embrouille

[Gwyddon]

Oui c'est exactement ce que je te demande, et ce n'est vraiment pas difficile

Si tu n'y arrives vraiment pas, je te donne la formule et je te montre comment la montrer. Après tu verras que ton exercice est fait en 5 minutes.

[invitede8a3ed2]

Re!

Moi je pense obtenir: Un = V(n) - V(n-1)
soit U(n) = somme (jusqu' à n) - somme (jusqu' à n-1)

Donc je remplace et j' obtiens Un = 5 + 4n

Un+1 - Un = 4 donc la suite est arithmétique de raison 4.
C' est comme cela qu il fallait procéder? Sinon peux tu me donner la formule dont tu parlais?? merci!

[Gwyddon]

C'était ça, c'est parfait

La formule que je te demandais est celle que tu as écrite au début de ton message, et tu vois qu'il trivialise ton exercice en 5 minutes

C'est ce qu'on appelle la relation suite-série, et c'est fort utile

[invitede8a3ed2]

ok merci de ton aide et surtout perseverance!