dm de maths dernière question

[invite54a4b351]

Et voila, c'est toujours comme ça, on a fait le plus dur, et arrivé à la dernière question, plaf !

Alors voila :
J'ai deux conditions, qui sont :
- pout tout x, f(-x)f'(x)=1 (C1)
-f(0)=-4 (C2)

Je trouve, au fil des questions, qu'une fonction qui répond à ce cdfc est -4e^x/16
Dernière question :
Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant les conditions C1 et C2, et preciser quelle est cette fonction.

Voila, merci à ceux qui peuvent me donner une piste
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[Hamb]

tu as trouvé une fonction qui marche, pour montrer qeu c'est la seule, une des méthode consiste à admettre l'existence d'une autre et montrer que l'on arrive à une contradiction, en l'occurence, ta contradiction a toutes les chances d'être que ta fonction hypothétique est égale à celle que tu as déja trouvée, ce qui est impossible puisque tu supposais au départ qu'elles étaient différentes.
conclusion : ta solution déja trouvée est l'unique, l'élue.

[invite54a4b351]

Merci, mais j'avais déjà pensé à cela, sans vouloir vous vexer. Je voudrais plutôt savoir comment mettre en oeuvre cette technique ... C'est là que le bas blaisse

[Jeanpaul]

Tu as dû montrer quelque part que
f(x)*f(-x) = A = Cte
Alors imagine une seconde fonction g(x) qui satisfait à
g(-x).g'(x) = 1
et calcule la dérivée de la fonction
u(x) = g(x)/f(x).
Conclus sur u(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54a4b351]

je trouve u'(x)=(g'(x)*f(x)-f'(x)*g(x)/(f²(x)
bon, alors je suppose que ça fait 0, et donc u'(x)=0, donc f(x)=g(x) ...
Mais je sais pas si j'ai pas été trop vite, parce que je suis pas convaincu de tout ce que je viens de dire.

[invite54a4b351]

qq peut m'aider ? je bloque ...

[invite54a4b351]

s'il vous plait, ce serait dommage de ne pas faire la toute dernière question ...

[invite54a4b351]

merci de m'aider, parce que là je patauge dans la résolution de ma dérivée ...
u'(x)=(f'g-g'f)/g², mais ensuite ? je n'arrive pas à simplifier ...

[Jeanpaul]

Eh bien tu continues en remplaçant g'(x) par son expression en fonction de g(-x) et idem pour f'(x)

[invite54a4b351]

je passe donc de u'(x)=(f'g-g'f)/f² à
u'(x)=(1/f(-x)g-1/g(-x)f)/f²
u'(x)=(g-f)/((f(-x)+g(-x))*f²)
mais là, je ne trouve plus de simplification

[Jeanpaul]

Pas juste, ce calcul, écris proprement les valeurs en précisant bien f(x), f(-x) etc... et fais apparaître les produits f(x).f(-x) et g(x).g(-x)