bonjour , j'ai des difficultées pour résoudre cet exercice sur les suites , pouvez vous m'aider svp; merci .
voici l'énoncé:
EXERCICE 2
L’énoncé est aussi sur :
http://andre.turbergue.free.fr/sous_...TS_DM6_a6.html
On considère les suites S=(sn) avec n appartient à N*, U=(un) et V=(vn) définies par sn=({somme de n termes ET k=1}1/k ) et un=sn-ln(n) et vn=un-1/n .
1)
a/ démontrer que, pour tout réel x > -1 , x / (1+x) <ou= ln(1+x) <ou= x .
b/ en déduire que, pour tout entier n>ou= 1 , 1 / (n+1) <ou= ln(n+1) - ln(n) <ou= 1/n .
2)
a/ démontrer que, pour tout entier n>ou= 1 , (1/n) + ln(n) <ou= sn <ou= 1+ln(n).
b/ la suite S est-elle convergente?
c/déterminer, si elle existe, la limite de sn/ln(n) lorsque n tend vers
3)
a/ démontrer que les suites U et V sont adjacentes . Que peut-on en déduire?
b/ on pose µ={lim en + l'infini de un}.Prouver que , pour tout entier n>ou= 1 ,
0<ou= un - µ <ou= 1/n.
c/ A l'aide de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée L à 10^-3 près de u150
d/ En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de µ .
4) On pose, pour tout entier n>ou= 1 , ¤n = 1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)+1/2n = {somme de 2n termes avec k=1 } (-1)^(k+1)/k..
a/ Calculer les 4 premiers termes de la suite ¤n sous la forme fractionnaire, puis sous forme décimale approchée à 0.01 près
b/ Démontrer que, pour tout entier n>ou= 1 , ¤n = 1/(n+1) -1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/2n = {somme de 2n termes avec k=(n+1}} 1/k..
c/ Pour tout entier n >ou= 1 , exprimer la différence u2n - un en fonction de ¤n..
d/ En déduire que la suite ¤n est convergente et préciser sa limite .
voici ce que j'ai trouvé :
1)
a)
j'ai essayer la récurrence mais je n'arrive pas à montrer l'hérédité.
Puis j'ai essayé :
x>-1 <==> 1+x>0 <==> ln(x+1)>ln(0)
b)
soit Pn la propriété « 1 / (n+1) <ou= ln(n+1) - ln(n) <ou= 1/n »
montrons que P1 est vraie :
P1= ½ <ou= ln2-ln1 <ou= 1
Donc pn est vraie au rang 1 .
Supposons que Pn et vraie ; montrons que Pn+1 l'est aussi .
1/(n+1+1) <ou= ln(n+1+1) - ln(n+1) <ou= 1/(n+1)
mais la je ne retrouve pas pn pour (1/(n+1+1))
2)
b)
Sn est bornée , donc convergente
c)
Sn/ln.n est bornée de 2 limites qui tendent vers + l'infini donc d'après le théorème des gendarmes Sn/ln.n tend vers + l'infini.
merci de m'aider.
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