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dm sur les suites (TS)




  1. #1
    rosie

    dm sur les suites (TS)

    bonjour , j'ai des difficultées pour résoudre cet exercice sur les suites , pouvez vous m'aider svp; merci .

    voici l'énoncé:

    EXERCICE 2

    L’énoncé est aussi sur :
    http://andre.turbergue.free.fr/sous_...TS_DM6_a6.html


    On considère les suites S=(sn) avec n appartient à N*, U=(un) et V=(vn) définies par sn=({somme de n termes ET k=1}1/k ) et un=sn-ln(n) et vn=un-1/n .


    1)
    a/ démontrer que, pour tout réel x > -1 , x / (1+x) <ou= ln(1+x) <ou= x .


    b/ en déduire que, pour tout entier n>ou= 1 , 1 / (n+1) <ou= ln(n+1) - ln(n) <ou= 1/n .


    2)
    a/ démontrer que, pour tout entier n>ou= 1 , (1/n) + ln(n) <ou= sn <ou= 1+ln(n).

    b/ la suite S est-elle convergente?

    c/déterminer, si elle existe, la limite de sn/ln(n) lorsque n tend vers


    3)
    a/ démontrer que les suites U et V sont adjacentes . Que peut-on en déduire?


    b/ on pose µ={lim en + l'infini de un}.Prouver que , pour tout entier n>ou= 1 ,
    0<ou= un - µ <ou= 1/n.


    c/ A l'aide de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée L à 10^-3 près de u150

    d/ En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de µ .


    4) On pose, pour tout entier n>ou= 1 , ¤n = 1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)+1/2n = {somme de 2n termes avec k=1 } (-1)^(k+1)/k..



    a/ Calculer les 4 premiers termes de la suite ¤n sous la forme fractionnaire, puis sous forme décimale approchée à 0.01 près

    b/ Démontrer que, pour tout entier n>ou= 1 , ¤n = 1/(n+1) -1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/2n = {somme de 2n termes avec k=(n+1}} 1/k..



    c/ Pour tout entier n >ou= 1 , exprimer la différence u2n - un en fonction de ¤n..

    d/ En déduire que la suite ¤n est convergente et préciser sa limite .


    voici ce que j'ai trouvé :

    1)

    a)
    j'ai essayer la récurrence mais je n'arrive pas à montrer l'hérédité.
    Puis j'ai essayé :
    x>-1 <==> 1+x>0 <==> ln(x+1)>ln(0)

    b)
    soit Pn la propriété « 1 / (n+1) <ou= ln(n+1) - ln(n) <ou= 1/n »
    montrons que P1 est vraie :
    P1= ½ <ou= ln2-ln1 <ou= 1
    Donc pn est vraie au rang 1 .
    Supposons que Pn et vraie ; montrons que Pn+1 l'est aussi .
    1/(n+1+1) <ou= ln(n+1+1) - ln(n+1) <ou= 1/(n+1)
    mais la je ne retrouve pas pn pour (1/(n+1+1))

    2)

    b)
    Sn est bornée , donc convergente

    c)
    Sn/ln.n est bornée de 2 limites qui tendent vers + l'infini donc d'après le théorème des gendarmes Sn/ln.n tend vers + l'infini.

    merci de m'aider.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    bonjour , pouriez-vous m'aider à démontrer le 2) a) svp.
    Merci.

  4. #3
    martini_bird

    Re : dm sur les suites (TS)

    Salut,

    par récurrence, en utilisant le résultat du 1b).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca


  5. #4
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    Merci beaucoup.
    mais comment écrire cette inégalité de 1 à n pour additionner les inégalités du 1)b).
    Merci.

  6. #5
    martini_bird

    Re : dm sur les suites (TS)

    Tu n'en as pas besoin pour la récurrence, mais en effet il suffit d'empiler l'inégalité 1b et de faire la somme :



    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    mais je ne vois pas en quoi on a démontrer le 2)a).
    car on trouve seulement ln(n+1) <ou= sn
    Merci beaucoup pour votre aide car je ne comprends vraiment pas cette question.

  9. #7
    martini_bird

    Re : dm sur les suites (TS)

    La dernière inégalité s'écrit



    Maintenant, ll suffit de lire...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. Publicité
  11. #8
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    aa merci beaucoup

  12. #9
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    pourriez vous m'aider pour la 3)b) svp :
    µ={lim en + l'infini de un}={lim en + l'infini de vn}.
    sn converge, lim en +l'inf de 1+ln n
    lim en +l'inf de 1+ln n-ln n = 1
    donc lim en +l'inf de un= lim en +l'inf de vn = 1
    d'où un-µ = sn-ln n -1
    soit 1/n -1 <ou= sn-ln n -1<ou= 0
    1/n -1 <ou= un-µ <ou= 0
    Merci.

  13. #10
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    pour le 3)b) , est-ce que je dois dire que lim en +l'inf de sn est +l'inf ou faire l'encadrement : sn <ou= 1+ln(n) ?
    Merci.

  14. #11
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    bonjour,

    Pouvez vous m'aider svp car je n'arrive pas à utiliser ma calculatrice pour entrer des sommes:

    voici la partie de l'énoncé:
    Un=Sn-ln n et sn=({somme de n termes ET k=1}1/k ) .

    3)c) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée L à 10^-3 près de u150 .

    Merci beaucoup .

  15. #12
    rosie

    Re : dm sur les suites (TS)

    ca y est j'ai trouvé le 3) .

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