problème d'optimisation [1ère S]

[arthur11]

Bonjour,
je ne parviens pas à faire le problème d'optimisation suivant :
Soit un trapèze (isocèle) MNPQ avec (MQ) parrallèle à (NP)et MQ plus grand que NP et MN = NP = PQ = a. Deux droites sont perpendiculaires à (NP) : l'une passe par N et coupe (MQ) en H et l'autre passe par P et coupe (MQ) en H'. L'angle MNH = l'angle QPH' = l'angle têta qui est compris dans l'intervalle [0 ; pi/2] (J'ai essayé de décrire ma figure si ce n'est pas clair demandez moi.)
Trouver Têta tel que l'aire MNPQ soit maximale.
J'ai essayé d'exprimer l'aire du trapèze en fonction de têta et de a puis calculer sa dérivée (je ne suis sur de rien) et je bloque completement pour donner le signe de la dérivée.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre le problème depuis le début ou à m'éclairer un peu? Merci d'avance !!!
(devoir à rendre pour le mercredi 10 janvier).
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[arthur11]

Personne ne peut m'aider? HELP !
Merci d'avance,
Arthur.

[natse]

Bonsoir, peux tu donner l'expression de l'aire de ce trapèze en fonction de a et de têta?

[arthur11]

Bonsoir,
oui bien sûr : Aire = a fois costêta(a + a fois sintêta)
et sous la forme developpée : aire = a²costêta + a²costêta sintêta
j'ai tenté de calculer la derivée ce qui donne:
aire' = -2a sintêta - 2a sintêta costêta
aire' = -2a ( sintêta + sintêta costêta)
encore une fois je ne suis sur de rien. Je pense avoir fait une erreur dans le calcul de la dérivée.
Ensuite je compte determiner le signe de la dérivée pour faire un tableau de variation de aire' mais je n'arrive pas à determiner le signe de aire'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[natse]

Il me semble qu'il y a une erreur dans ton aire, compte tenu que dans le trapèze il y a un carré de côté a plus autre chose, il faudrait trouver "a exposant 2" + "quelque chose en fonction de têta".

[arthur11]

Enfait ce nest pas un carré c'est plutot un rectangle de cotés a et la hauteur du trapèze cad NH(ou NH') qu'on peut appeler h, et a est différent de h sauf dans le cas exceptionnel où l'angle têta est nul. Ce ne serait donc pas "a exposant 2" mais "a fois h"(mais je me suis peut etre mal exprimé dans l'énoncé).
Je vais donc suivre tes conseil et décortiquer ce trapeze en un rectangle (NPH'H) et deux triangles rectangles (MNH et PQH').
Merci pour tes conseils!

[arthur11]

Je mettrai l'aire des deux petits triangles rectangles en fonction de têta.

[natse]

tu as raison pour le rectangle, j'avais mal lu l'énoncé.
Tu devrais trouver Aire = a^2 ( cos têta +cos têta . sin têta ).