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[1ere S] problème d'optimisation



  1. #1
    jujulegentil

    [1ere S] problème d'optimisation

    Salut a tous je suis un élève en début de première S et mon prof m'a donné un exo que je n'arrive pas à résoudre, si vous pouviez me donner un coup de mains, merci à tous.
    On a représenté la parabole d'équation y=1-x²
    Dans l'arche de parabole, on inscrit un rectangle MNPQ.
    En notant x l'abscisse du point M, déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale. Quelle est alors la valeur de cette aire?

    Merci à tout la monde.

    -----


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  3. #2
    Marc

    Re : [1ere S] problème d'optimisation

    Je suppose que M et N sont sur la parabole, et P et Q sont sur leur projection sur l'axe des abscisses, non ?
    Alors :
    L'aire du rectangle est 2|x|.(1-x²). Il faut étudier les variations de cette fonction (3èm degré donc faisable facilement), et en particulier se restreindre à x>0 (pour passer sur le domaine de x<0, il suffit d'observer que la fonction est impaire).
    A toi de faire les calculs ... Si tu bloques dit-le

    Marc

  4. #3
    Coincoin

    Re : [1ere S] problème d'optimisation

    Salut,
    L'aire du rectangle est 2|x|.(1-x²)
    Personnellement, j'aurais plutôt dit (1-2x)(1-x²) Et je pense que tu peux te limiter à l'intervalle [0,1] sans trop de scrupules (sinon le rectangle n'est pas inscirt dans l'arche).
    Mais le mieux pour expliquer serait de faire un schéma...
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    jujulegentil

    Re : [1ere S] problème d'optimisation

    merci mais en fait P et Q sont des pts de la parrabole et N et M sont leur projection sur l'axe des abscisse.

  6. #5
    Coincoin

    Re : [1ere S] problème d'optimisation

    Ca ne change rien...
    Appelons M le point en bas à gauche de ton rectangle, N le poitn en bas à droite, et P (à droite) et Q (à gauche) les points sur la parabole.
    Ton rectangle fait une hauteur 1-x² où x est l'abscisses de M. Pour la longueur, il faut voir que la longueur sous l'arche est de 1, qu'il y a une longueur x à gauche de M et x à droite de N (tu peux remarquer que c'est symétrique). Donc l'aire de ton rectangle est (1-2x)*(1-x²). Il ne te reste plus qu'à trouver le maximum de cette fonction...
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Marc

    Re : [1ere S] problème d'optimisation

    Coincoin,
    On ne dois pas prendre la même figure ... car je ne vois pas comment tu as une longueur de 1-2x (par contre sur la hauteur on est OK) !! Par contre c'est vrai qu'on peut se limiter à x dans l'intervalle [0;1]
    C'est pas grave, cela fera le plus grand bien à notre ami de chercher lui même l'expression de l'aire du rectangle en fonction de x ...

    Marc

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