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question toute bête (inégalité de Bernoulli)



  1. #1
    romaric7

    question toute bête (inégalité de Bernoulli)


    ------

    bonjour à tous !

    j'ai un exo de maths sur l'inégalité de Bernoulli qui dit que:

    Pour tout x > ou égal à 0 et pour tout n appartenant à N, on a (1+x) à la puissance n est > ou égal à 1+nx

    On pose fn(x) = ((1+x) puissance n) -1-nx

    On me demande de déterminer le signe de fn'(x) qui est fn'(x)= n((x+1)puissance n-1)-n
    avec n>1 et x appartenant à [0; +inifini[

    -J'ai réussi à prouver que dans ces conditions n(1+x)puissance n-1 était positif et que n est positif aussi.

    maintenant je cherche à prouver de n(1+x)puissance n-1 est supérieur à n

    C'est intuitif, mais comment le prouver mathématiquement ?
    (je paris que c'est ultra simple en réalité mais ce sont les questions les plus simples qui sont parfois les plus dures !)

    merci d'avance

    -----

  2. #2
    spaceman92

    Re : question toute bête

    Bonjour,
    Je ne suis pas sur d'etre dans le vrai mais cela pourra peu etre t'orienter:

    Tu as une equation a la fin:
    n(1+x)puissance n-1
    Hors tu sais que:
    (1+x) à la puissance n>= 1+nx

    donc tu c que (1+x)^(n-1)>= 1+(n-1)x et si x >= 0 alors (n-1)x >=0 donc n(1+(n-1)x) sera plus grand que n...

    Ce n'ai pas le plus rigoureux mais tu peu le demontrer par recurence je pense.

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