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Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables



  1. #1
    Paradize21410

    Question Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables


    ------

    Bonjour,

    J'ai un exercice de mathématiques niveau seconde à faire. Malheureusement, je ne suis pas sure de ma réponse à la première question et je n'arrive pas à faire la deuxième, ce qui m'empêche de continuer l'exercice. Je remercie d'avance ceux qui pourront m'aider.

    Voici l'énoncé :

    --------------------------------------------------
    C est un cercle de centre O et de de rayon R.
    [AB] un diamètre de ce cercle.
    P est le point du segment [AB] tel que 3PA = 5PB.
    Une droite mobile d passant par P coupe le cercle C en M et N.
    (schéma joint)

    1°)a) Calculer PA et PB en fonction de R.

    ----> J'ai trouvé comme réponse :
    AP = R + OP
    PB = R - OP


    b) En choisissant convenablement deux triangles semblables, démontrer que :
    PM x PN = 15/16 x R²

    ----> J'ai choisi de prendre :
    AP = 5 et PB = 3 car d'après l'hypothèse :
    3PA = 5PB
    3x5 = 5x3 = 15

    J'ai donc deux triangles semblables nommé : ANP et BMP.
    (je ne sais pas si je dois le prouver mais on sait qu'ils sont opposés par le sommet donc que : l'angle APN et l'angle MPB sont égaux. Après je ne sais pas comment prouver qu'un autre angle est égal dans les deux triangles.)

    ----> Après, on utilise le rapport de similitude k et on a :
    PM/PA = PB/PN = BM/AN
    d'où PM x PN = PA x PB

    Mais je ne sais pas comment prouver la suite...
    --------------------------------------------------

    Voilà, encore merci d'avance à ceux qui m'aideront.

    Paradize21410

    -----
    Images attachées Images attachées

  2. Publicité
  3. #2
    Phenotype

    Re : Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables

    Salut

    Pour le début il faut faire un peu de calcul vectoriel

    je note vec(AB) le vecteur AB

    on a par hypothèse
    3vec(AP)=5vec(PB)
    en utilisant Chasles on a
    3vec(AP)=5vec(PA)+5vec(AB)
    d'où en simplifiant ce qui se simplifie
    vec(AP)=5/8vec(AB)

    donc AP=5/8*AB (en longueur) et comme AB est le diametre du cercle on a AB=2R
    finalement AP=5/4*R
    et PB=3/4*R (car AP+PB=AB)

    pour la deuxieme question ca a l'air d"tre comme tu a dis puisque on trouve le bon resultat :
    PM x PN = PA x PB = 15/16R²

  4. #3
    Paradize21410

    Re : Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables

    Bonjour,

    Je vous remercie pour votre réponse, qui m'a beaucoups aidé. Mais je n'ai pas compris une partie du calcul de AP :

    3vec(AP)=5vec(PB)
    en utilisant Chasles on a
    3vec(AP)=5vec(PA)+5vec(AB)

    Je ne comprend pas comment peut-on passer de :
    5vec(PB) à 5vec(PA) + 5vec(AB)

    Même en utilisant la relation de Chasles.

    Si vous pourriez me la réexpliquer, je vous en serai reconnaissante. Merci d'avance,

    Paradize21410.

  5. #4
    Phenotype

    Re : Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables

    c'est justement la relation de chasles

    regarde ici
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_de_Chasles

    donc on a
    vec(PB)=vec(PA)+vec(AB)

    et avec le 5 devant ca donne
    5vec(PB)=5vec(PA)+5vec(AB)

  6. #5
    Paradize21410

    Re : Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables

    D'accord ! J'ai compris maintenant !
    Je vous remercie encore une fois car je peux à présent avancer dans mon DM.
    Encore merci,

    Paradize21410.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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