Exercice niv. 2nd - Triangles Semblables

[invite86827768]

Bonjour,

J'ai un exercice de mathématiques niveau seconde à faire. Malheureusement, je ne suis pas sure de ma réponse à la première question et je n'arrive pas à faire la deuxième, ce qui m'empêche de continuer l'exercice. Je remercie d'avance ceux qui pourront m'aider.

Voici l'énoncé :

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C est un cercle de centre O et de de rayon R.
[AB] un diamètre de ce cercle.
P est le point du segment [AB] tel que 3PA = 5PB.
Une droite mobile d passant par P coupe le cercle C en M et N.
(schéma joint)

1°)a) Calculer PA et PB en fonction de R.

----> J'ai trouvé comme réponse :
AP = R + OP
PB = R - OP

b) En choisissant convenablement deux triangles semblables, démontrer que :
PM x PN = 15/16 x R²

----> J'ai choisi de prendre :
AP = 5 et PB = 3 car d'après l'hypothèse :
3PA = 5PB
3x5 = 5x3 = 15

J'ai donc deux triangles semblables nommé : ANP et BMP.
(je ne sais pas si je dois le prouver mais on sait qu'ils sont opposés par le sommet donc que : l'angle APN et l'angle MPB sont égaux. Après je ne sais pas comment prouver qu'un autre angle est égal dans les deux triangles.)

----> Après, on utilise le rapport de similitude k et on a :
PM/PA = PB/PN = BM/AN
d'où PM x PN = PA x PB
Mais je ne sais pas comment prouver la suite...
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Voilà, encore merci d'avance à ceux qui m'aideront.

Paradize21410
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[invite61bbd1bb]

Salut

Pour le début il faut faire un peu de calcul vectoriel

je note vec(AB) le vecteur AB

on a par hypothèse
3vec(AP)=5vec(PB)
en utilisant Chasles on a
3vec(AP)=5vec(PA)+5vec(AB)
d'où en simplifiant ce qui se simplifie
vec(AP)=5/8vec(AB)

donc AP=5/8*AB (en longueur) et comme AB est le diametre du cercle on a AB=2R
finalement AP=5/4*R
et PB=3/4*R (car AP+PB=AB)

pour la deuxieme question ca a l'air d"tre comme tu a dis puisque on trouve le bon resultat :
PM x PN = PA x PB = 15/16R²

[invite86827768]

Bonjour,

Je vous remercie pour votre réponse, qui m'a beaucoups aidé. Mais je n'ai pas compris une partie du calcul de AP :

3vec(AP)=5vec(PB)
en utilisant Chasles on a
3vec(AP)=5vec(PA)+5vec(AB)

Je ne comprend pas comment peut-on passer de :
5vec(PB) à 5vec(PA) + 5vec(AB)

Même en utilisant la relation de Chasles.

Si vous pourriez me la réexpliquer, je vous en serai reconnaissante. Merci d'avance,

Paradize21410.

[invite61bbd1bb]

c'est justement la relation de chasles

regarde ici
http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_de_Chasles

donc on a
vec(PB)=vec(PA)+vec(AB)

et avec le 5 devant ca donne
5vec(PB)=5vec(PA)+5vec(AB)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86827768]

D'accord ! J'ai compris maintenant !
Je vous remercie encore une fois car je peux à présent avancer dans mon DM.
Encore merci,

Paradize21410.