[1èS] Exo sur les suites

[invite72ea9d3f]

Bonjour !

Voilà, la source de mon problème est la suivante :

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 2, et u_n+1 = (3u_n - 1)/(u_n + 1), pour n>0.

On a f la fonction correspondante sur [0;+infini].

Bon, on doit commencer par étudier les variations de f sur cet intervalle, puis démontrer que si x € ]1;2] alors f(x) € ]1;2]. Ensuite (PROBLEME) : démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 1< u_n <(ou égal à) 2.

J'ai commencé par calculer u₁ = 5/3 , puis u₂ = 1.5, u₃ = 1.4 ...

Il faut en déduire que la suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n.

Pouvez-vous me mettre sur la voie ?
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[invitec053041c]

Bonjour
Tu sais que

Or tu sais que si x appartient à ]1;2],f(x) appartient à ]1;2] (1)

L'initialisation pour la récurrence est ok.
Tu supposes qu'à un certain rang appartient à ]1;2]
Hérédité: appartient donc aussi à cet intervalle d'après (1) .

Cordialement.

[invite72ea9d3f]

Merci beaucoup ! C'est compris.

Par contre, la question suivante me laisse perplexe ! Montrer que la suite u_n est définie pour tout n... Ca semble évident, mais que faut-il démontrer ? Que faut-il faire ?

[invite1228b4d5]

ben suffit de dire qu'il n'y a pas de valeur interdite.
car Un appartient toujour a l'intervalle ]1:2]
(ce que tu a demontrer avant)
donc la suite est définie sur N .
enfin, c'est comme ça que je le comprend

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Oui je le comprends comme ça aussi, suffit de montrer que jamais Un ne prend la valeur 1.Ce que tu avais montré

[invite72ea9d3f]

Fini !

Merci bien pour votre aide (les vacances n'arrangent pas la cervelle).

[invitec053041c]

héhé !!!