Primitives

[invite533b878d]

Bonjour à tous,

J'ai un petit souci pour determiner une primitive.

On me demande de trouver celle de f(x)=(tan(x))^3

En bricolant l'expression, je trouve :

f(x)=(-(-sin(x)(cos(x))^(-3))-(sin(x))/(cos(x))

On peut donc voir, dans la première partie de l'expression, une forme ku'u^n [ primitive (u^(n+1))/(n+1) ], et dans la seconde partie une forme u'/u [ primitive ln (u) ].

J'en ai donc déduit que la primitive devrait être F(x)=(2/cos²(x))+ln(cos(x))

Le problème, c'est que lorsque je vérifie en dérivant et en traçant la dérivée, F'(x) différent de f(x).

Je ne comprend pas où est le souci sniff

Can you help me ?

Cordialement,
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[invite0387e752]

une fois que tu as ton expression de f apres le bricolage, essaie avec un changement de variable (que tu auras choisi delicatement grace aux regles de bioche) et tu devrais trouver sans trop de problèmes

[invite533b878d]

Merci pour ton aide,

Les règles de quoi ??? lol

Et je vois pas trop quoi changer comme variable ...

Cordialement,

EDIT : connaissait pas ces fameuses règles ... c'est très interessant ...

[invite533b878d]

Bon alors, en regardant sur wiki, je suis dans ce cas là

"Si ω(π + t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = tan(t)."

Mais une fois que je sais ça, je ne vois pas quoi changer en fait ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite533b878d]

Il n'y a pas un autre système que ce changement de variable ?

Et je ne comprend pas pourquoi mon calcul de primitive ne fonctionne pas, j'utilise pourtant des propriétés correctes, non ?

Cordialement,

[Romain-des-Bois]

Bon, alors, tu n'as pas besoin de règles de Bioche ou de changements de variables apparemment...

Ton résultat n'est pas très loin du bon (je te le donne pas quand même) : il y a bien du ln (n'oublie pas quelque chose quand même à propos de ça : tu as écrit ln(cos(x)) et ...)

et le tout est sous forme de fraction avec du cos² en bas...

je pressens une petite erreur de calcul dans ton bricolage

Romain

[invite533b878d]

Pourtant, lorsque je trace mon bricolage et la courbe de tan(x)^3, elles se confondent :<

Et en ce qui concerne le ln, il n'y a pas de souci puisque l'integrale est sur 0;pi/4

[ ce que je n'ai certes pas dit dans l'énoncé lol ]

Cordialement,

[Romain-des-Bois]

bon... ben non :

on a bien :
tan³(x) = sin(x).cos^-3(x) - sin(x)/cos(x)

c'est que l'erreur est ailleurs

EDIT : oui, je viens de vérifier... (ce n'est pas parce que les deux courbes se superposent que les deux fonctions sont égales )

[Romain-des-Bois]

Bon... reprenons :

une primite de sin(x).cos^-3(x) est bien 1/2cos²(x)

et une primitive de sin(x)/cos(x) est bien :
-ln ( val.abs(cos(x)) )

... tu as ça ?

EDIT : ben non, tu n'as pas ça ! tu as fait une erreur toute bête dans le calcul de la primitive de sin(x).cos^-3(x)

[invite533b878d]

Ah oui ? c'est bon à savoir, moi qui me fie souvent à celà ...

Donc effectivement, c'est bon mon developpement de tangente.

Mais la primitive me pose décidément un problème ...

EDIT : non je n'ai pas ça ... Moi, j'ai, pour la première partie, 2/cos²x et pour la seconde, +lncosx.

En effet, on a sinx(cosx)^-3 qui a pour primitive (-cos^(-2+1))/(-3+1) soit 2/cos²x

[invite533b878d]

Bah pourtant,

si on pose u(x)=cos(x), u'(x)=-sin(x), donc on est sous la forme -u'u^(-3) ! Donc la primitive est censée etre -u^(-3+1)/(-3+1), soit 2/u².
de même pour le ln, on a -sin(x)/cos(x), de la même façon, une forme u'/u, donc ln(u), non ?

[Romain-des-Bois]

Ah oui ? c'est bon à savoir, moi qui me fie souvent à celà ...

C'est un bon moyen pour avoir une idée (si les deux courbes ne coïncident pas du tout, y a peu de chances pour qu'elles soient égales ), mais le dessin (ou le graphe) ne donne qu'une idée et pas une preuve. Et en maths, tant que ce n'est pas prouvé, ce n'est pas vrai

Donc effectivement, c'est bon mon developpement de tangente.

Sur le coup, j'ai cru au développement limité, j'ai eu un peu peur

[Romain-des-Bois]

Pour le ln on est d'accord , c'est juste que j'ai calculé la primitive de sin/cos et toi de - sin/cos

Pour l'autre :
je ne te comprends pas très bien :
si tu dérives 2/u² (ce que tu dis être la bonne primitive), ça fait -4u'/u³, ce n'est donc pas bon (la position du 2 je parle)

[invite533b878d]

Sans doutes, oui, mais tu vois mon calcul, je ne comprend pas pourquoi ça ne fonctionne pas.

Tu es d'accord que la primitive doit etre de la forme -u^(-3+1)/(-3+1), si oui, on a -u^-2/-2=-1/u²/-2=-2*-1/u²=2/u² erf

[Romain-des-Bois]

Sans doutes, oui, mais tu vois mon calcul, je ne comprend pas pourquoi ça ne fonctionne pas.

C'est parce que ton erreur n'est pas dans le calcul de la primitive

-1/u²/-2=-2*-1/u²=2/u² erf

Ton erreur est là

Tu écris "/2" = "x 2" !!!

[invite533b878d]

Oui, mais on a (-1/u²)/(-2), ah ouiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Donc effectivement, on doit avoir 1/2u²

Merci mille fois !

Tiens au passage, j'ai passé cette question mais je cherche depuis un moment comment prouver cela ...

On a Jn=INTEGRALE[O;pi/4] (tanx)^n

Il faut prouver que Jn+J(n+2)=1/(n+1)

Moi, je suis arrivé à Jn+J(n+2)=INT[0;pi/4] ((tanx)^n)(1+(tanx)²)

Je ne vois pas comment poursuivre erf.

[Romain-des-Bois]

Bah du coup, je te confirme que tes autres calculs sont tous bons (je les ai tous vérifiés )

tu gères les primitives !


Romain

[invite533b878d]

Merci pour ton coup de main !

Une petite idée pour la suite ?

[Romain-des-Bois]

Merci pour ton coup de main !

Une petite idée pour la suite ?

La suite de quoi ?

[Romain-des-Bois]

Ah OK, j'avais pas vu ton message précédent

Ben écoute, t'es pas loin il me semble...



il te suffit de remarquer (tan(x))' = ...


et tu as terminé...


Romain

EDIT : tu es en première ?

[invite533b878d]

Non, je suis en term S.

(tanx)'=tan²x+1 ou 1/cos²x !

Bien sur !

Je sais pas ce que j'ai devant les yeux, mais c'est pas évident pour voir lol.

Donc l'intégrale est de la forme u'u^n donc la primitive, c'est u^(n+1)/(n+1)

Merci !

Cordialement,

EDIT : raté ... à la fin, je trouve (tanx)^(n+1)/(n+1), et pas 1/n+1 comme demandé :s

[Romain-des-Bois]

ah la la, il faut faire tout le travail à ta place !

tu arrives à :

... = [tanⁿ⁺¹(x)/(n+1)]_x=0^x=/4

et tanⁿ⁺¹(/4) - tan(0), ça fait ?


Et tu arrives au résultat demandé


Romain

EDIT : tu veux faire des maths plus tard, ou c'est niveau TS ça ?

[invite533b878d]

Jsui malin ... je comprend pourquoi ça marche pas ... j'ai écri tan(pi), jme suis planté sur l'intervalle d'integration lol.

[Romain-des-Bois]

Jsui malin ...

Hé hé hé

Bonne continuation