Une dérivée avec des fonctions trigonométriques...

[invite0c5534f5]

Salut,

f est la fonction définie sur par f(x)=[1+cos(x)]sin(x)

Démontrer que, pour tout x € , f'(x)=[cos(x)+1][2cos(x)-1]

Moi je fais:
f'(x)=-sin(x)*cos(x)+cos(x)(1+cos(x)) (uv=u'v+v'u)
f'(x)=-sin(x)cos(x)+cos(x)+cos²(x)

On est loin de ce que l'on cherche, elle est où l'erreur?


Merci.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Que valent u, v, u' et v' ? Je ne comprends pas d'où sort ton terme en sin(x)×cos(x).

[Duke Alchemist]

Bonjour.

f'(x)=-sin(x)*cos(x)+cos(x)(1+cos(x)) (uv=u'v+v'u)

L'erreur est dans la partie en gras

Tu poses u(x) = (1+cos(x)) => u'(x) = ...
et v(x) = sin(x) => v'(x) = ...

Après c'est une bête erreur d'application

Duke.

[invite25d36360]

Salut,

tout d'abord il y a une petite erreur dans ton calcul de dérivée sur le terme de gauche.
Ensuite il faut utiliser les formule de trigonométrie:
en particulier cos^2(x)-sin^2(x)=2cos^2(x)-1 (ca vient de cos^2(x) + sin^2(x) =1)
Et hop le tour est joué ...

Phen.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c5534f5]

u(x) = (1+cos(x)) donc u'(x) = -sin(x)
et v(x) = sin(x) donc v'(x) = cos(x)

non?

[invite0c5534f5]

Je viens de me rendre compte de mon erreur:
f'(x)=-sin²(x)+cos(x)+cos²(x)

Mais ça m'arrange pas non plus...

Edit: ah bah avec la formule de phen ça fonctionne.


Merci à vous

[invite88ef51f0]

Oui, c'est bon. Tu as tout ce qu'il te faut pour te relancer dans le calcul !

EDIT C'est tout bon alors ?

[invite0c5534f5]

Oui c'est tout bon.

Mais j'ai une autre question.
Je dois déterminer le signe de 2cos(x)-1 dans
Donc je fais:
2cos(x)-1=0
=>2cos(x)=1
=>
=>

Mais ensuite comment justifier le fait que 2cos(x)-1>0 si x € et que 2cos(x)-1<0 si x € ?

[Duke Alchemist]

Oui

Sinon qu'aurais-tu fait si la réponse avait été négative ? (juste par curiosité)

[invite0c5534f5]

Duke, tu parles de quelle réponse?

Sinon personne ne sait comment faire pour justifier le signe de 2cos(x)-1?

[Duke Alchemist]

Duke, tu parles de quelle réponse?

Sinon personne ne sait comment faire pour justifier le signe de 2cos(x)-1?

Oups ! j'avais mal lu...

Mais pourquoi ne pas partir directement d'une inégalité plutôt que d'une égalité ?

EDIT : cos(x)>1/2 => x<pi/3 sur [0,pi/2] car cos est décroissante (c'est un peu rapide, je pense...)

[invite0c5534f5]

2cos(x)-1=0 => x=pi/3 (faut pas mettre une double flèche plutôt?)

Or cos(x) est décroissante sur [0;pi/2] donc 2cos(x)-1 décroissante sur [0;pi/2]
D'ou 2cos(x)-1>0 si x € et 2cos(x)-1<0 si x €

Ca suffit ça?