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Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.



  1. #1
    neokiller007

    Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Salut,

    J'ai un DM sur les suites et j'ai quelques doutes sur certaines de mes réponses donc j'aimerais savoir si elles sont correctes et j'ai aussi besoin d'aide pour deux questions.


    (Vn) définie par et pour premier terme V0=30 000

    Cette suite est-elle arithmétique? géométrique? Justifier.

    Cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique car elle n'est pas de la forme ni de la forme avec r et q des constantes.

    Pour tout entier n, on pose
    Démontrer que (Un) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.



    (la factorisation je l'ai fait un peu au pif: je voulais faire apparaitre Un et j'ai vu que ça fonctionnait, je sais pas si c'est très rigoureux.)
    Donc (Un) est une suite géométrique de raison 0.98.
    Son premier terme est U0=5000

    Je dois déterminer la limite de:

    Comme 0.98<1, Donc
    D'où

    Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles Vn<27 000?
    Ca je l'ai fait à la calculatrice, pas besoin de justification?


    Deuxième exercice:
    J'ai
    et

    Je dois étudier les variations de f et dresser le tableau de variation, ça pas de problème.

    Démontrez que si x appartient à l'intervalle [0;3] alors f(x) appartient à l'intervalle [0;3]

    f(0)=0 et f(3)=3 Or f est strictement croissante et continue sur [0;3] (ça vient du tableau de variation)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires si x € [0;3] alors f(x) € [0;3]

    Déduisez de la question précédente que:
    La suite (Un) est majorée par 3
    La suite (Un) est croissante.

    C'est ces deux question auxquelles je n'arrive pas à répondre.
    j'ai vraiment aucune idée.

    Déduisez-en que la suite (Un) converge et trouvez sa limite.

    Comme U est à la fois croissante et majorée alors elle converge.
    Par contre pour trouver sa limite je ne sais pas comment faire.

    Et dernier exercice une démonstration par récurrence:

    Sn=1²+2²+3²+...+n²
    A l'aide d'un raisonnement pas récurrence, démontrer que pour tout entier n

    Posons Pn: pour tout entier n

    Initialisation:
    1²+2²=5
    Donc P2 est vraie

    Hérédité: Supposons Pn vraie
    Démontrons que Pn+1 est vraie.






    Or
    Et
    (J'ai fait ces deux étapes pour pouvoir obtenir ce que je veux, je ne sais pas si la factorisation et faisable, en tout cas je n'y suis pas arrivé).
    D'où
    Donc Pn+1 est vraie.

    Conclusion: pour tout entier n




    Voila, merci de votre aide.

    -----


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  3. #2
    Tonton Nano

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Bonjour,

    Pour le premier exo, c'est ok mais il faudrait justifier la dernière réponse (en trouvant la valeur de n). Il faut écrire l'inéquation, simplifier et prendre le log.

    Pour l'exercice 2, tu as montré que f était croissante puis décroissante. Quel est son maximum ?

  4. #3
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    On a pas encore vu le logarithme.

    Le maximum de f est 3.

  5. #4
    Tonton Nano

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    On a pas encore vu le logarithme.
    Whoa ! donc tu l'as fait par tatonements ? Tu as trouvé combien ?

    Pour le 2ieme exo, il ne manquerai pas U0 ?

  6. #5
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Whoa ! donc tu l'as fait par tatonements ? Tu as trouvé combien ?
    Ben oui, avec la calculatrice c'est fait rapidement.
    J'ai trouvé n>45

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Pour le 2ieme exo, il ne manquerai pas U0 ?
    Ben nan, U0=V0 - 25000

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tonton Nano

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Ben oui, avec la calculatrice c'est fait rapidement.
    J'ai trouvé n>45
    Ok, avec le log c'est encore plus rapide !!! Mais patience !

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Ben nan, U0=V0 - 25000
    Ah mais je savais pas que les exos étaient liés !

    Dans ce cas là, Un n'est pas vraiment croissante non ?
    U0 = 5000
    U1 < 0 < U0

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  10. #7
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles Vn<27 000?
    Ca je l'ai fait à la calculatrice, pas besoin de justification?

    Bonjour,
    Puisque tu l'as fait avec la calculatrice, justifie quand même ta question en évoquant le fait que ta suite est décroissante.

  11. #8
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Ah mais je savais pas que les exos étaient liés !

    Dans ce cas là, Un n'est pas vraiment croissante non ?
    U0 = 5000
    U1 < 0 < U0
    Heu désolé je me suis trompé.



    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    Bonjour,
    Puisque tu l'as fait avec la calculatrice, justifie quand même ta question en évoquant le fait que ta suite est décroissante.
    Ok.

  12. #9
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    --- Pour la récurrence (exo 3) c'est impécable.

    --- dans l'exercice 2 tu dis:

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Démontrez que si x appartient à l'intervalle [0;3] alors f(x) appartient à l'intervalle [0;3]

    f(0)=0 et f(3)=3 Or f est strictement croissante et continue sur [0;3] (ça vient du tableau de variation)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires si x € [0;3] alors f(x) € [0;3]
    C'est faux: ni le théorème des valeurs intermédiaires, ni même la continuité de f n'ont quelque chose à avoir avec cette question ! Attention, à revoir !

    - Il faut la démontrer par récurrence: initialisation...

    - pour l'hérédité, tu vas utiliser le fait suivant que tu aura remarqué:

    pour tout entier k

    *Dessine un tableau des variations pour f pour x € [0;3],
    * place ensuite et dans la ligne de x en utilisant l'hypothèse de l'hérédité;
    * sur la flèche du tableau quels termes de la suite se trouvent à la verticale de et ? conclus.

    --- pour la limite pars de l'égalité et fais tendre vers :

    tu obtiens une équation d'inconnue est la limite éventuelle, facile à résoudre...

    résouds cette équation et conclus...

  13. #10
    Tonton Nano

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message

    pour tout entier k
    Que vient faire U dans un démonstration sur f ?

    Sur [0,3], f est croissante et continue donc, sur cet intervalle
    f(0) < f(x) < f(3)

    Il n'y a ni U ni valeurs intermédiaires ...

  14. #11
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    --- Pour la récurrence (exo 3) c'est impécable.
    Ca fait plaisir parce que j'ai bien galèré.

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    --- dans l'exercice 2 tu dis:


    C'est faux: ni le théorème des valeurs intermédiaires, ni même la continuité de f n'ont quelque chose à avoir avec cette question ! Attention, à revoir !

    - Il faut la démontrer par récurrence: initialisation...

    - pour l'hérédité, tu vas utiliser le fait suivant que tu aura remarqué:

    pour tout entier k

    *Dessine un tableau des variations pour f pour x € [0;3],
    * place ensuite et dans la ligne de x en utilisant l'hypothèse de l'hérédité;
    * sur la flèche du tableau quels termes de la suite se trouvent à la verticale de et ? conclus.
    Alors là je ne comprend pas.
    Si la fonction est strictement croissante et continue, alors à sa borne inférieure elle aura le minimum de cet intervalle et à sa borne supérieur elle aura la maximum de cet intervalle et elle sera passé par toutes les valeurs comprisent entre le minimum et le maximum.
    De plus le raisonnement pas récurrence n'est pas uniquement fait pour les suites? (où plutôt par les choses réccurentes?)

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    --- pour la limite pars de l'égalité et fais tendre vers :

    tu obtiens une équation d'inconnue est la limite éventuelle, facile à résoudre...

    résouds cette équation et conclus...
    Là non plus je comprend pas, la suite est définie par récurrence donc comment étudier sa limite?
    Si elle aurait été définie de façon fonctionnelle pas de problème mais ce n'est pas le cas.

  15. #12
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Que vient faire U dans un démonstration sur f ?

    Sur [0,3], f est croissante et continue donc, sur cet intervalle
    f(0) < f(x) < f(3)

    Il n'y a ni U ni valeurs intermédiaires ...
    J'utilise peut être le théorème des valeurs intermédiaires à tords et à travers, si j'enlève "d'après le théorème des valeurs intermédiaire" c'est juste?

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  17. #13
    Tonton Nano

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    J'utilise peut être le théorème des valeurs intermédiaires à tords et à travers, si j'enlève "d'après le théorème des valeurs intermédiaire" c'est juste?
    D'après moi, oui (et en plus, on s'en fiche qu'elle soit strictement croissante. croissante tout court suffit) ! mais kaiswalayla a l'air tellement sur de ses méthodes (que tu n'es pas le seul à ne pas comprendre ) que ...

    ... mais non. Logiquement ca se tient. Donc ByeBye TVI et c'est ok.



    kaiswalayla : tu nous expliques tes deux méthodes (image de f sur [0,3] et limite de U) ?

  18. #14
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Normalement il faut utiliser la méthode de Tonton Nano mais je vois pas l'intérêt de ce qu'a fait Kaiswalayla ( Roméo... )
    Tu peux mieux expliquer

  19. #15
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Et pour la limite personne n'a une idée?
    Ainsi que pour déduire si la suite est croissante et majorée d'ailleurs.

  20. #16
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Pour dire que la suite est croissante tu fais Un+1 - Un = -1/3U²n + Un,
    factorise pas Un tu trouve une différence entre les parenthèses 1-1/3*Un, d'après la question précédente Un compris entre 0et3 puisque si x entre 0et3 alors fx entre 0et3 or ta remarqué que fUn = Un+1 tu peu donc dire que Un entre 0et3. Un est majorée par alors -1/3 Un compris entre -1et0 alors 1-1/3Un >=0.
    le signe de la différence entre Un+1 et Un est positif.
    (excuse moi pour la rédaction trop hâtive j'ai pas le temps de tout organiser)

  21. #17
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Le signe de la différence est positif puisque 1-1/3Un positif et Un positif.
    La suite croissante et majorée donc converge. Et puisque c'est une suite récurrente sa limite c'est la solution de l'équation fx=x (tu dois préciser que cette solution appartient à l'intervalle 0;3 puisque tu peux avoir 2 solutions tu n'en choisira qu'une).

  22. #18
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Citation Envoyé par Dr. NucleYous Voir le message
    Pour dire que la suite est croissante tu fais Un+1 - Un = -1/3U²n + Un,
    factorise pas Un tu trouve une différence entre les parenthèses 1-1/3*Un, d'après la question précédente Un compris entre 0et3 puisque si x entre 0et3 alors fx entre 0et3 or ta remarqué que fUn = Un+1 tu peu donc dire que Un entre 0et3. Un est majorée par alors -1/3 Un compris entre -1et0 alors 1-1/3Un >=0.
    le signe de la différence entre Un+1 et Un est positif.
    (excuse moi pour la rédaction trop hâtive j'ai pas le temps de tout organiser)
    J'ai pas tout compris.





    Et



    Et après j'ai pas compris
    On doit d'abord déduire que la suite est majorée par 3

    Pour la limite j'ai pas compris ceci:
    Citation Envoyé par Dr. NucleYous Voir le message
    Et puisque c'est une suite récurrente sa limite c'est la solution de l'équation fx=x (tu dois préciser que cette solution appartient à l'intervalle 0;3 puisque tu peux avoir 2 solutions tu n'en choisira qu'une).

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  24. #19
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Lorsque tu factorise pas Un tu dis que puisque fx est compris entre 0et3 et que Un+1 = fUn, alors Un est compris entre 0et3 puisque Un+1 l'est.
    Or tu as que Un+1 - Un = Un(1-1/3Un) Un est + et -1/3Un compris entre -1et0 donc 1-1/3Un compris entre 0et1 donc le signe de la différence est + donc Un croissante, de plus majorée par 3 donc converge.
    La limite d'une suite définie par Un+1=fUn qui est une suite récurrente est une des solutions de l'équation fx=x tu choisi la solution appartenant à ton intervalle.

  25. #20
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    D'où tu sais que est compris entre 0 et 3?

  26. #21
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    fx entre 0et3 donc fUn entre 0et3 d'où Un+1 entre 0et3.

  27. #22
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    f(x) compris entre 0 et 3 si x compris entre 0 et 3.
    Donc d'où tu sais que Un est compris entre 0 et 3?

  28. #23
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Je vais arranger mon précédent message qui est effectivement un peu ambigü au début mais tout ce que j'ai dit dans la suite restera la méthode à suivre.

    --- dans l'exercice 2 tu dis:

    f(0)=0 et f(3)=3 Or f est strictement croissante et continue sur [0;3] (ça vient du tableau de variation)
    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires si x € [0;3] alors f(x) € [0;3]
    je te redis exactement la même chose:

    C'est faux: ni le théorème des valeurs intermédiaires, ni même la continuité de f n'ont quelque chose à avoir avec cette question ! Attention, à revoir !


    Comme l'avait dit quelqu'un plus haut. il faut seulement utiliser la croissance de f sur [0;3] :


    si alors puisque f est croissante sur

    (J'avais effectivement mélangé les deux questions sur f et U, faute d'inattention et non de compréhension)


    c'est la seule chose que je change dans mon message. Pour le reste je dis:

    Pour démontrer que la suite on ne peut pas le démontrer par

    -- Il faut le démontrer par récurrence, c'est à dire démontrer la propriété

    - initialisation...

    - pour l'hérédité, tu vas utiliser le fait suivant que tu aura remarqué:

    pour tout entier k

    *Dessine un tableau des variations pour f pour x € [0;3],
    * place ensuite et dans la ligne de x en utilisant l'hypothèse de l'hérédité;
    * sur la flèche du tableau quels termes de la suite se trouvent à la verticale de et ? conclus.

    --- pour la limite pars de l'égalité et fais tendre vers :

    tu obtiens une équation d'inconnue est la limite éventuelle, facile à résoudre...

    résouds cette équation et conclus...

  29. #24
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Réctification:

    ce qu'il faut démontrer par récurrence c'est
    en utilisant ;

    "La suite est croissante"
    peut être démpontré par récurrence comme j'avais dit,

    mais ce n'est pas obligatoire:

    on peut effectivement utiliser le fait que

    (comme on vient de dire (je l'avais pas vu, je ne suis pas en forme))

    et démontrer que est positif en utilisant le fait que qu'on aura démontré par récurrence.

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  31. #25
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Ok, je crois avoir compris:
    Démontrons par récurrence que Un € [0;3] pour n € N
    Posons Pn: Un € [0;3]

    initialisation:
    et € [0;3] donc P0 est vraie

    Hérédité:
    Supposons Pn vraie.
    Démontrons que Pn+1 est vraie

    Donc Un+1 € [0;3] puisque Un € [0;3]
    Donc Pn+1 est vraie

    Conclusion: Un € [0;3] pour n € N
    Puisque Un € [0;3] alors Un est majorée par 3.

    Déduisons en que la suite est croissante:





    Or € [-1;0] car Un € [0;3]
    D'où
    Donc

    donc Un est croissante.

    C'est bon?

    Sinon pour la limite je comprend toujours pas:
    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    et fais tendre vers
    Ca veut rien dire, parce que sinon je commence par faire tendre Un vers mais c'est ce qu'on cherche justement.

  32. #26
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    pour la limite pars de l'égalité et fais tendre vers :

    tu obtiens une équation d'inconnue est la limite éventuelle, facile à résoudre...

    résouds cette équation et conclus...



    Dans f ais tendre n vers l'infini , et tendent vers ,la limite que tu que tu cherches

    quelle équation tu obtiens avec ?

  33. #27
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    tu obtiendras une équation de degré 2, d'inconnue l.

  34. #28
    kaiswalayla

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    J'avais oublié de te dire que ta récurrence était juste.

    Quand tu dis

    ...

    Donc

    donc Un est croissante.
    il faut le justifier en partant du fait que


    Enfin pour la limite il faut chercher d'abord.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par kaiswalayla ; 05/11/2007 à 00h42. Motif: erreur

  35. #29
    neokiller007

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Pour la limite est-ce qu'on peut l'écrire comme ça:



    donc il y a deux racines:

    et

    Comme Un est croissante et U0=1/2 alors la limite de U est 3

  36. #30
    Dr. NucleYous

    Re : Suites (TS): savoir si j'ai juste et besoin d'un peu d'aide.

    Je crois que c'est la même chose que de résoudre l'équation fx=x en utilisant le fait que la suite est récurrente pour trouver la limite, c'est ça??

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