Dérivé et limite

[invited40df3f7]

Bonjours à tous, j'ai un problème qui consiste à trouver les limites de :
g(x) = 1-(x²-2x+2)e^-x

En - l'infini j'ai trouvé -l'infini
En + l'infini j'ai trouvé 1
(a vérifié)

Ensuite je dois trouver ses variations

J'ai d'abord calculé la dérivé ce qui m'a donné : g'(x) = -x²/e^x
Comme e^x > 0 par définition alors son signe est celui de -x²
donc la dérivé esttoujours inférieur à 0 et donc la fonction g s'annule en 0 et est décroissante sur R.

Mais c'est ilogique d'aprés les limites ... pouvez-vous m'aider svp ?
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, les limites sont correctes mais l'expression de la dérivée que tu donnes est fausse. Refais ton calcul…

[invited40df3f7]

Ah bon ? Pourtant j'ai fait ceci :
g(x) = 1-(x²-2x+2)e^-x

g'(x) = (-2x+2)*(1/e^x) + (-x²+2x-2)*(1/e^x)
g'(x) = (1/e^x)*(-2x+2-x²+2x-2)
g'(x) = (1/e^x)*(-x²)

sa ne va pas ?

[invite03f2c9c5]

Ah bon ? Pourtant j'ai fait ceci :
g(x) = 1-(x²-2x+2)e^-x

g'(x) = (-2x+2)*(1/e^x) + (-x²+2x-2)*(1/e^x)
g'(x) = (1/e^x)*(-2x+2-x²+2x-2)
g'(x) = (1/e^x)*(-x²)

sa ne va pas ?

Non. La dérivée de la fonction n'est pas égale à la fonction elle-même. C'est une fonction composée. En passant, tu ne gagnes rien à remplacer par .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited40df3f7]

a bah oui effectivement ...

Donc sa donnerait :
g'(x) = (-2x+2)*e^-x + (-2x²+2x-2)*(-e^-x)
g'(x) = e^-x(2x²-4x+4)

c'est bien ça ?

[invite03f2c9c5]

Oui, et du coup, le signe devrait correspondre à ce qu'on attend…