Distance la plus courte entre 2 points

[Dydo]

Bonjour à tous, alors je suisz confronté à un problème qui peut paraître tout bête pour un de mes DM, mais que finalement je n'arrive pas à justifier :s

Sur un problème concernant la distance d'un point à un cercle ( défini comme la borne inférieuse de l'ensemble des distances de ce point M à un point Q du cercle, Q décrivant le cercle C ) je dois justifier lors du calcul d'une distance que la distance de M ( un point quelconque ) à C ( le cercle ) est égale à la distance MQ avec {Q}=(AM) intersection C ( rien ne nous le dit )...

En fait, ça revient à justifier que le chemin le plus court entre deux points est le segment formé par ces deux points ( dans un espace normal, un plan normal, avec des points normaux, un repère normal et tout normal hein, pas de choses bizarres pour lesquelles la distance la plus courte entre deux points serait une corbe qui fait des aller-retours de partout etc etc ... :þ ) et ... ça se justifie ?

C'est une propriété immédiate ? Un postulat d'Euclide ? Quelque chose qui vient d'une inégalité triangulaire quelconque ou d'une chose comme ça ?

Merci d'avance, ça peut paraitre évident, mais bon, je vais pas mettre ça sur ma copie xD
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[danyvio]

QU'est-ce que AM ? Ou du moins le point A ?
En tous cas, d'une manière générale, on définit en géométrie euclidienne la distance d'un point à un "machin" (droite, segment, courbe) comme le plus court segment depuis le point de référence à tout point du machin.

[isozv]

Bonsoir,

Je risque de me faire fusiller par les matheux... mais perso j'utilise l'équation d'Euler-Lagrange pour démontrer cela... (que la plus courte distance entre deux points est la droite)

[danyvio]

Bonsoir,

Je risque de me faire fusiller par les matheux... mais perso j'utilise l'équation d'Euler-Lagrange pour démontrer cela... (que la plus courte distance entre deux points est la droite)

Question à Dydo : tu es en quelle classe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

isozv > L'inégalité de Minkowski suffit, non ?

[isozv]

isozv > L'inégalité de Minkowski suffit, non ?

possible... j'en sais trop rien (j'aime pas trop utiliser cette inégalité car le résultat se base sur la définition même de distance entre deux points dans un espace métrique si je me souviens bien....). Mais c'est une question de goût...

[DSCH]

Bonsoir, j'imagine que A désigne le centre du cercle. Il s'agit de démontrer que de tous les points Q' du cercle, celui (notons-le Q) qui réalise le minimum des distances MQ' est aligné avec M et A. Il ne s'agit pas de montrer que la distance la plus courte entre deux points est obtenue en ligne droite (ça, c'est supposé connu dans un plan euclidien !), il s'agit de comparer la longueur MQ à la longueur MQ' (les deux étant des longueurs de segments bien rectilignes, hein), où Q' est un autre point du cercle.

En passant, il y a un petit problème dans la définition de Q : la droite (AM) coupe le cercle en deux points ! Il faudrait définir rigoureusement lequel des deux réalise le minimum des distances MQ'…

En espérant que ça aide.

[DSCH]

En passant, il y a un petit problème dans la définition de Q : la droite (AM) coupe le cercle en deux points ! Il faudrait définir rigoureusement lequel des deux réalise le minimum des distances MQ'…

Bon, pour ce point, il suffit de remplacer la droite (AM) par la demi-droite [AM) et c'est réglé. Maintenant, pour démontrer le résultat voulu, l'inégalité triangulaire (et son cas d'égalité) est en effet une bonne idée…

[Dydo]

Excusez moi du manque de précisions, effectivement A est le centre du cercle C, et Q est bien l'intersection de [AM) et de C, mais je ne vois pas comment me servir de l'inégalité triangulaire, est-ce que :





Suffirait ?

Voilà je commence à être déformé par la sup, je me met à vouloir justifier tout et n'importe quoi ...

[danyvio]

Question à DYDO : As-tu vu la "puissance d'un point par rapport à un cercle" ?
SI NON : précise ton niveau (ta classe)

[Médiat]

Soit Q' un autre point du cercle, tu dois comparer
et , un peu d'inégalité triangulaire (et du cas d'égalité), plus une remarque sur et et c'est fini.

[Dydo]

Je suis en MPSI comme l'indique ma signature Il ne me semble pas avoir vu la puisse d'un point par rapport à un cercle, enfin ça me dit quelque chose mais probablement rien de bien approfondi :þ

avec R rayon de C



On a bien

Mais ... je vois pas comment conclure :s

[danyvio]

Autre façon de voir, en supposant M extérieur au cercle. Toute sécante au cercle passant par M (autre que la droite AM) coupe le cercle en deux points appelés (pourquoi pas) U et V, U étant le plus proche de M.

Considérons le triangle MAU . Etant un triangle non aplati, AM < AU + UM
Or AM=AQ+QM et AQ=AU=rayon
Donc QM < UM. CQFD.
Cette démo me paraît simple et élégante. Why not ?

A toi de voir le cas où M intérieur au cercle...

[Dydo]

Ho merci Dany Belle démonstration, voilà ce que je ferais pour la seconde partie :

Soit M tq. AM < R. Soit U un point de C distinct de Q et Q l'intersection de [AM) et de C, par inégalité triangulaire dans le triangle AMU qui n'est pas plat ( donc tq. AU différent de AM + MU ), on a :



Or

D'où

Or, AMQ étant alignés dans le même ordre, on a **

D'où

Soit

Ce qui prouve bien le résultata recherché

Par contre juste une question pour la ligne marqué par des *, c'est encore quelque chose d'immédiat ou ça se justifie xD ?

Vous voyez, je suis totalement déformé, je justifie tout et n'importe quoi, même que 1=1 :s

Merci encore de votre précieuse aide

[danyvio]

M est intérieur au cercle, donc entre A et Q No problème !

[danyvio]

Pour revenr au cas où M est extérieur au cercle, il n'est même pas utile de parler de sécante. Il suffit de prendre U quelconque sur le cercle, mais différent de Q. IL existe un cas particulier, celui ou U est diamétralement opposé à Q, mais là, la démo est triviale.

[Dydo]

Je dirais donc en plus que si U est dans l'intersection de (AM] et de C, on a U,A,M alignés dans le même ordre d'où :



Est-ce que ça suffirait comme justification :þ ? Et dois-je traiter ce cas pour M dans le disque et hors du disque ou une fois suffit ? ( ça reste le même calcul en fait ^^ ).

Merci à vous.