Demo pgcd

[invitebfd92313]

Je détaille :
Pour démontrer ton implication, tu supposes a et b premiers entre eux. (c'est a dire, d'après le théorème de bézout ........)
Si on note d=PGCD(a,b). Utilise de nouveau bézout pour avoir une relation entre a, b et d.
A partir des deux relations que tu as trouvées, essaye de les combiner pour faire apparaître une nouvelle relation, mais cette fois ci entre ac, b et d.
Montre ensuite que d divise ac et b.
Tu dois pouvoir conclure avec l'implication que j'ai énoncée dans mon post précédent.
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[invite425270e0]

C'est c'qu'on faisait avec GalaxieA440, mais apparament on a pas le droit (voir explications page 1 de MiMoiMolette). De plus, dans ton cas, d = 1

[invitebfd92313]

Oups désolé, je me suit trompé en écrivant, il faut lire : d=PGCD(b,c), et on veut montrer que d= PGCD(ac,b) et donc juste après, je voulais dire une relation entre b, c et d.
Ensuite, la réciproque de Bézout est en effet fausse mais si on ajoute la condition d divise a et d divise b, on obtient bel et bien une équivalence.

[invite425270e0]

mais d ne divise ni a ni b car a et b premiers entre eux

[invitebfd92313]

Je parlais du cas général, dans ce cas particulier si d divise ac et b et uac+bv=d alors pgcd(ac,b)=d

[invite1237a629]

Une bonne nuit de sommeil :>

Pour reprendre dans l'ordre :

GalaxieA40. (je vais enlever le spoil)

d'/c et d'/b ---> d'/xc+yb donc d'/d

Nope.
1/ D'après ton écriture, on dirait que tu utilises la réciproque de Bézout (notre prof nous l'a bien répété deux fois en une heure : la réciproque n'est vraie que pour pgcd = 1). Si tu rajoutes "quels que soient x et y de Z", OK, car d' est une combinaison particulière de ac et b.
2/ Ce n'est pas assez expliqué et il y a plus joli

or je peux dire que d ne divise pa a puisque ça sous entendrait que d divise a et c, or d'apèrs les hypothèses : a^b=1...

Justement, il serait bon d'avoir une démonstration plus rigoureuse. C'est vrai comme affirmation, mais ça reste une affirmation.

Indice :

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Démonstration par l'absurde

sachant que d ne divise pas a, ce qui signifie que d^a=1

Bip bip ^^
6 ne divise pas 9 et pourtant, 6 et 9 ont un pgcd = 3.
C'est une erreur plutôt fréquente, fais attention.
Par rapport à ce que tu as mis avant, montre que d et a ont un pgcd = 1, c'est-à-dire aucun diviseur commun. Ne montre pas seulement que d ne divise pas a.

donc d/c et d/b ---> d/x'c+y'c et donc d/d' entre autre...

Même remarque que tout en haut : BOUUUUUH
En pire en fait... J'ai peur de ne pas avoir bien compris ce que tu voulais faire. Peux-tu l'expliquer ?

[invite1237a629]

Bonjour,
cette implication est elle vraie ?

Si c'est le cas, alors il est possible de démontrer ton implication de manière beaucoup plus directe qu'en montrant que chacun des pgcd divise l'autre.

Ce serait beau hein ? ^^
Et d'ailleurs, ce serait faux, car c'est, ne l'oublions pas "Il existe" et pas "quels que soient". Donc on n'a pas le droit de poser de condition sur u et v, en particulier si on veut y inclure un facteur a en espérant qu'il passe inaperçu

Je me disais bien que la réciproque demandait une condition supplémentaire, et après une petite recherche internet j'ai réussi a la retrouver.
Donc il y a en effet une démonstration directe, il suffit de traduire d'=PGCD(b,c) grace à bézout, de traduire a et b premiers entre eux toujours grace à bézout, et de tenter de faire apparaitre une égalité de la forme :

Ensuite, il faut démontrer que d' divise ac et b (c'est facile).
On peut alors utiliser l'implication suivante pour conclure :

Je suis d'accord, bien que je ne l'aime pas. On ne sera que trop tentés de tomber dans l'erreur. @ Universmaster : c'est quand même nuancé par rapport à ce que vous aviez dit, GalaxieA40 et toi.

(mise en spoil car j'ai peur que galaxieA40 n'y voie un indice)

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Le problème est de démontrer l'autre sens, car il n'est pas si évident de montrer que d divise c. Et la difficulté est là.

Mais je préfère ma méthode. Non, ne vous trompez pas, je ne suis pas imbue de moi-même. Je vois les choses telles qu'elles sont. La propriété que tu as citée me semble vraie. Le problème est que je ne pense pas qu'on voie cet aspect de Bézout en cours. Il faut donc le démontrer (pas difficile, je te l'accorde, mais assez long si on veut être rigoureux). Or, pourquoi se fatiguer ? Comme je l'ai dit sur un post, si d|b et d|c, alors d divise le pgcd de b et c, car c'est un diviseur commun à b et c.
Une ligne, c'est plus court, no ? ^^

[invitebfd92313]

Eh bien a vrai dire, la partie réciproque de bézout est vue en cours, puisque je me rappelle très bien qu'elle était dans le cours de mon prof lors de ma terminale.
Donc je pense qu'il est ici judicieux de l'utiliser, car tout autant que tu préfères ta méthode, j'ai une grande préférence pour les démonstrations qui ne font pas intervenir un raisonnement par l'absurde.
Et puis si la réciproque de bézout est vue en cours, la démonstration ne fait que 4 lignes au plus.

[invite1237a629]

Euh...
Dans les deux cas tu devras utiliser la démonstration par l'absurde. C'est une des conditions que tu as énoncées : d doit diviser c. Et pour ça, ce n'est pas évident lorsqu'on sait juste que d divise ac et b, et a et b premiers entre eux.

Quant à la réciproque de Bézout, j'avoue avoir demandé à 5 personnes, chacune d'un lycée différent. Si ce n'est pas assez représentatif, ok, mais même ici, Universmaster ne la connaît pas. Donc il vaut mieux pour lui utiliser une méthode qu'il connaît.

[invite787dfb08]

donc d/c et d/b ---> d/x'c+y'b et donc d/d' entre autre... (faute de frappe )


Quand d/c et d/b, alors d divise n'importe quelle combonaison linéaire de c et de b, donc entre autre d divise d' puisque d'=(ac)^b=acu+bv (ce qui est bien une combinaison linéaire de c et de b...

Pour le reste je devais pouvoir m'en sortir...

++

[invitebfd92313]

Dans la méthode que j'ai proposée d=pgcd(b,c), donc d divise c.
Et puis en effet si la réciproque de bézout n'est pas vue en cours, il vaut mieux ne pas l'utiliser telle qu'elle. Mais bon on peut toujours la redémontrer, c'est extremement simple.
Je le répète, toute méthode est valable, mon but était juste de proposer une autre perspective qui permet d'arriver au résultat sans utiliser d'argument d'antisymétrie ni de raisonnement par l'absurde.
(à vrai dire en y repensant je crois que pendant ma terminale on a jamais eu besoin d'utiliser l'antisymétrie de la division, la réciproque de bézout permettant de conclure dans de nombreux cas, je pense qu'il peut-être interessant de savoir la démontrer, meme si le prof ne la met pas dans son cours, car elle est vraiment utile)

[invite1237a629]

Dans la méthode que j'ai proposée d=pgcd(b,c), donc d divise c.
Et puis en effet si la réciproque de bézout n'est pas vue en cours, il vaut mieux ne pas l'utiliser telle qu'elle. Mais bon on peut toujours la redémontrer, c'est extremement simple.
Je le répète, toute méthode est valable, mon but était juste de proposer une autre perspective qui permet d'arriver au résultat sans utiliser d'argument d'antisymétrie ni de raisonnement par l'absurde.
(à vrai dire en y repensant je crois que pendant ma terminale on a jamais eu besoin d'utiliser l'antisymétrie de la division, la réciproque de bézout permettant de conclure dans de nombreux cas, je pense qu'il peut-être interessant de savoir la démontrer, meme si le prof ne la met pas dans son cours, car elle est vraiment utile)

Ta méthode est juste, je n'ai pas dit le contraire ^^
Et je parlais du problème lorsqu'on veut démontrer que d' divise ac, alors d' divise c.

GalaxieA40 : OK, j'avais mal lu alors. Reste à montrer que d' divise c, encore une fois