Barycentres dans le tétraèdre

[invited689a9dd]

Bonjour,
J'ai un DM de maths a rendre pour la rentrée, d'habitude je suis plutot douée en maths mais j'ai de serieux problemes sur tout ce qui concerne la géométrie dans l'espace ><
Ce nouveau DM mélange les barycentres et la géométrie dans l'espace (tétraèdre)
Soient ABCD un tétraèdre, I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de [AB], [AC], [AD], [BC], [BD], [CD] et G1, G2 G3 et G4 les isobarycentres respectifs des faces BCD,ACD ABD et ABC.

1/ démontrer que les sept droites (AG1) (BG2) (CG3) (DG4) (IN) (JM) et (LK) sont concourantes
2/ a. justifier que les points I,A,G1 et N sont coplanaires
b. Déterminer l'intersection des plans (IAG1) et (LKN)
3/ Soit le point P déini par vecteur PA + vecteur PB + vecteur PC + vecteur PD =4 vecteur AB

J'ai l'impression que ce n'est pas extremement dure (peut etre que je me trompe ^^') mais je ne sais pas quel barycentres choisir (pour le 1/), je sais qu'il faut utiliser les équivalences mais je suis bloqué pour le moment ><
Si quelqu'un pourrait me donner un petit coup de pouce ce serait super =)
Merci d'avance !!
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[invitea3eb043e]

Comment construire l'isobarycentre de A, B, C, D ? On peut s'y prendre de diverses manières en regroupant les points différemment mais ça donne toujours le même point.

[invite3beedf80]

D'après Thales [JN] et [AD] sont parrallèles (car AJ/AC=CN/CD). De même pr [IM] et [AD].
D'après le th. d toit si [JN]//[AD] et [IM]//[AD] alors [JN]//[IM].
De plus comme J est milieu de [AC] et I milei de [AB]:[IJ]//[bc] et comme N est milieu de [CD] et M milieu de [BD], alors [NM]//[BC] ( tjrs grâce à Thales).
Si [IJ]//[NM] et [JN]//[AD] alors IJNM est un parrallélogramme.
donc [IN] et [MJ] sont concourantes en un point qui est isobarycentre de ces 2 segments ( car les diagonales d'un parrallélogramme se coupent en leur milieu).
Ac la même demo on remarque que KILN est aussi un parrallélogramme donc [KL] coupent [IN] au meme point ( toujours l'histoire des diagonales).
Donc (KL),(IN) et (MJ) sont concourantes.
Pour les 4 autres droites j'ai toujours pas réussi, si tu trouve préviens moi stp