Aires et médianes dans un triangle

[invite6b845e6b]

Hello tous le monde!

Amis des maths ( ou non x') ) Je viens solliciter votre aide ^^. Je suis pourtant bon en maths mais j'ai quelques soucis sur un exercice. D'un part parce que le professeur n'a fait aucun cours , ou rappel dessus , d'autre part parce que je n'ai pas trouver de leçon dans le livre d'exercice.

Apres des recherches sur internet j'ai trouvé quelques cours sur le théorème de chevron, mais en aucun cas celui-ci démontre que les médianes d'un triangles coupent ce triangle en six petits triangles de MEME aire.

Donc, j'essaye de faire un exercice:



L'énoncé (qui est aussi la premiere question):

Démontrer que les trois médianes d'un triangle partagent ce triangle en six triangles de même aire.

Figure: Un triangle quelconque ( IL N'EST PAS EQUILATERALE ! ! ! ) avec 3 médianes tracés. Le codage montrant que les médianes passent biens par le milieux du côté qu'elles coupent.




PS: Ca n'a rien à voir maas dans ce livre il y a un cours sur les valeurs absolue et selon mon prof' ils se sont trompé sur leur cours... Vrai faux, à voir...


Merci d'avance, Romain.
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[invite2220c077]

Salut,

Alors pour résoudre ce problème il faut que tu te rappelles (ou que tu trouves par toi-même ) une propriété basique des triangles appelé (le nom peut varier) le théorème du partage d'un triangle qui te dit ceci :

Soit ABC un triangle et M un point de [BC], alors :

A(ABM)/A(AMC) = MB/MC

avec A(X) l'aire du polygone X

Après je te laisse réfléchir.

[invite6b845e6b]

Ok merci Zweig.

Je vais peut - être te demander trop mais j'arrive pas à la trouver... :s

Si tu pouvais me donner la propriété ( pas seulement les formules ) ou bien un site avec la propriété...

Merci.

Romain

PS:J'ai pas vu cette propriété cette année ( 2nd ) ni l'année derniere ( 3eme ). Je ne pense pas non plus en 4eme...Elle doit être vu en quelle classe, environ?

[invite2220c077]

Bah la propriété je te l'ai donnée, elle est en gras

Pour que tu voyes d'où elle vient, une p'tite démo s'impose :

Tu traces la droite (AM). Tu as donc deux triangles, ABM et ACM qui font leur apparition. Maintenant, tu places H sur (BC) de sorte que (AH) soit perpendiculaire à (BC). Tu as alors :

A(ABM) = (BM*AH)/2 (base * hauteur/2)

A(AMC) = (MC*AH)/2

D'où A(ABM)/A(AMC) = [(BM*AH)/2] / [(MC*AH)/2] = BM/MC

Question : Peux-tu me donner une version "simplifiée" de cette relation lorsque M est le milieu de [BC], c'est-à dire lorsque (AM) est la médiane de (BC) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b845e6b]

A(ABM) = (BM*AH)/2 (base * hauteur/2)

A(AMC) = (MC*AH)/2

D'où A(ABM)/A(AMC) = [(BM*AH)/2] / [(MC*AH)/2] = BM/MC = 1

Car BM = MC

Mais je t'avoue que je ne vois pas le rapport avec mon exercices...Car la propriété que tu viens de m'énoncer est dans le livre ^^ ( Chaque médiane d'un triangle partage ce triangle en deux triangles de même aire. ).
Je n'arrive pas à démontrer que les 6 "minis" triangles que forment les 3 médianes d'un trangle ont tous la même aire...

[invite2220c077]

Ah très bien ! En fait, je ne savais pas que tu avais déjà vu cette propriété, dans ce cas-là ça va beaucoup plus vite.

Avant tout, un dessin s'impose (je n'ai pas Paint, donc dessine en même temps que moi). On appelle G le point d'intersection des médianes (le centre de gravité, donc), M le milieu de [BC], N le milieu de [AB] et P le milieu de [AC]. D'après la propriété des médianes, tu en déduis que A(GBM) = A(GCM) = x, mais aussi A(GNB) = A(GNA) = y et enfin A(GAP) = A(GCP) = z.

Tu dois donc montrer que x = y = z. Maintenant réutilise judicieusement cette propriété dans des "triangles plus grands" pour arriver à montrer que x = y = z.

[invite6b845e6b]

Tout à fait d'accord avec toi. Ca aussi c'est dans le livre lol , mais moin bien expliquer que toi ^^. Donc tu m'a aidé à comprendre ça .

Sachant que X , Y , Z sont composés de 2 petits triangles chacun ( dis moi si tu comprends pas parce que je ne suis pas toujours très claire lol ):

X = T-a et T-b
Y = T-c et T-d
Z = T-e et T-f

Si X = Y = Z

Cela ne veut pas forcément dire que T-a = T-b = T-c = T-d = T-e = T-f

Si tu vois ce que je veux dire...

[invite2220c077]

Faudrait que tu définisses plsu rigoureusement les lettres que tu emploies .

Plus simplement :

D'après une des propriétés des médianes on a aussi :

A(AMC) = A(ANB)

Or A(AMC) = .... + ... de même, A(ANB) = .... + .... d'où .... = ....

Tu refais la même chose avec "deux grands triangles" choisis judicieusement, et tu devrais déduire que x = y = z.

Je ne peux pas t'en dire plus, sinon l'exo est clos .

[invite6b845e6b]

Tu as écrit: D'après une des propriétés des médianes on a aussi :

A(AMC) = A(ANB) -----> N appartient à AB

Or A(AMC) = .... + ... de même, A(ANB) = .... + .... d'où .... = ....

Correction : D'après une des propriétés des médianes on a aussi :

A(AMC) = A(AMB)

Or A(AMC) = .... + ... de même, A(AMB) = .... + .... d'où .... = ....


Exemple :

Donc:

~A(ANG) = A(AGP)

~A(NBG) = A(BMG)

~A(GMC) = A(GCP)

Mais je voudrais savoir si il est possible de prouver que : A(ANG) = A(AGP) = A(NBG) = A(BMG) = A(GMC) = A(GCP)

[invite6b845e6b]

Oh mon dieu!! Je viens de regarder l'image que je viens de poster et ç'est venu comme ça...je viens de comprendre...Grrr ça m'apprendra a ne pas regarder mieux que ça...

La médiane (NC) est aussi une médiane du petit triangle ABG.

La médiane (PB) est aussi une médiane du petit triangle AGC.

La médiane (AM) est aussi une médiane du petit triangle BGC.

Bon apres il faut réappliquer la propriété ( ce que tu essaye de m'expliquer depuis tout à l'heure x') ).

Je mets tout ça au propre et je poste sur le forum pour voir si c'est bon.

Encore un grand merci Zweig! ! !

[invite2220c077]

Oui, faute de frappe t'alleurs.

Oui, l'idée est d'appliquer cette propriété sur d'autres triangles. Histoire que tu puisses t'auto-corriger puisque tu es entrain de rédiger la solution, je te propose la mienne (reprends mes résultats/notations plus haut).

D'après le théorème de partage d'un triangle, nous avons :

A(AMC) = A(AMB) <=> 2z + x = 2y + x <=> 2z = 2y <=> z = y

De même, nous avons A(BPA) = A(BPC) <=> 2y + z = 2x + z <=> 2x = 2y <=> x = y.

Puisque y = z, alors on en déduit x = y = z comme convenu.

[invite6b845e6b]

Exact, tout ça est bon .



Merci beaucoup Zweig.

[invite6b845e6b]

REDACTION:

Dans le triangle ABC:

-BB' est une médiane issue de B coupant [AC] en son milieu en B'.

D'après le théorème de partage, chaque médiane d'un triangle partage ce triangle en deux triangles de même aire.

Donc A(ABB') = A(CBB').

-CC' est une médiane issue de C coupant [AB] en son milieu en C'.

Donc A(ACC') = A(BCC').

-AA' est une médiane issue de A coupant [BC] en son milieux en A'.

Donc A(BAA') = A(CAA').

Dans le triangle AGC

-BB' est une médiane issu de G coupant [AC] en son milieux en B'.

Donc A(AGB') = A(CGB') = x

Dans le triangle AGB

-CC' est une médiane issue de C coupant [AB] en son milieux en C'

Donc A(AGC') = A(BGC') = y

Dans le triangle BGC

-AA' est une médiane issue de A coupant [BC] en son milieux en A'.

Donc A(BGA') = A(CGA') = z



Sachant que :



- A(ABB') = A(CBB') <=> 2x + y = 2z + x <=> 2x + 2z <=> x = z



-A(BAA') = A(CAA') <=> 2y + z = 2x + z <=> 2y = 2x <=> y = x


x=z , et y=x , donc y=z

Donc x = y = z <=> A(AGC') = A(BGC') = A(AGB') = A(CGB') = A(BGA') = A(CGA').

Les six triangle formés par le partage des médianes du triangles ABC ont bien la même aire.




PS: Désolé pour la présentation et l'utilisation des même lettres pour la fin de la rédaction mais on les utilise souvent en maths donc...

Encore merci Zweig

[invite2220c077]

Impec'

[invite33dee81a]

BONJOUR,


J'aii une question qui n'a pas de rapport avec ce que vous parlé mais est-ce qu'une tangente à un cercle coupe ce cercle en deux points ?

Sii Ouii quel propriété le prouve ?
Sii nOn un contre exemple suffit .

Mercii