Juste correction exo primitives

[invitea228f706]

Bonjour à tous , bon je vous souhaite à tous déjà une bonne année car c'est mon premier post de 2008 :we: .
Donc voila j'ai un dm qui est entièrement sur les primitives , j'aimerai qu'on me confirme mes résultats pour les applications et qu'on m'aide a répondre aux questions de démonstration , aller je commence ! :happy2: .

Proposer une formule générale donnant une primitive sur R de la fonction fn définie par :
fn(x) = , ou n est un entier naturel non nul.

donc ceci c'est fait j'ai fn(x) = x^(n+1)/(n+1)

Démontrer cette formule

Alors ceci je n'arrive pas à le faire car en dérivant j'ai fn(x) = x^n/(n+1)
donc premier point a éclaircir :marteau: .

Ensuite dernier question de démonstration .
En utilisant la formule démontrer que :
Si f est une fonction définie sur un intervalle I qui s'écrit f = , ou n est un entier relatif différent de -1 et u une fonction dérivable sur I , alors :
la fonction *

Bon ensuite se sont justes des applications j'ai tout réussi a faire donc je vais pas m'attarder dessus
je voudrais juste savoir ce que vous trouver a celle ci :
f(x) = 1 / sin²x
moi j'ai trouver f(x) = -1 / cos²x.

Bon ensuite il reste pas grand chose ( ouf ! ) , juste des petites vérifications donc je vais vous faire part tout de suite .

Enoncé : Soit f la fonction définie sur R par f(x) =
Déterminer la primitive F de f sur l'intervervalle I qui vérifie F(1) = 2.

Ce que j'ai fait :
J'évite les calculs je met juste ma réponse :
F(x) =
Donc ceci est ma primitive
puis j'ai trouver k =

Donc F(x) =
F(x) =

Et enfin dernière vérification ...

Enoncé : Soit la fonction définie sur ]0;+inf[ par f(x) =

Justifier l'existence et l'unicité de la primitive F de f sur l'intervalle ]0;+inf[ telle que F(1)=0

Ce que j'ai fait :
Bon sur cette exercice , je ne suis pas sur du tout , à mon avis j'ai du me tromper mais je met quand même mes résultats .

f est définie sur ]0;+inf[ , elle est donc continue sur cet intervalle .
Donc si elle est continue sur I , elle admet l'existence d'une primitive .
Par contre pour l'unicité , je ne sais pas comment il faut faire .

C'est la ou j'ai du me tromepr dans la primitive donc je vais vous exposer mon calcul .
F(x) =
u= x
u'= 1
f(x)=
F(x) =
F(x) =
F(x) = -1/0
F(x) = 0

et donc je trouve k=0
Pour celui la j'aimerai qu'on me mette le calcul ou qu'on m'explique où j'ai fait l'erreur car j'ai faux c'est sur .
Bon voila c'est la fin ( youpi ) !
J'attend avec impatience vos suggestions au sujet de mes "trous" et je suis désoler pour la qualité de certains calcul en TEX , je maitrise pas encore entièrement cet outil .
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[invite8bc5b16d]

salut

pour la première question, la dérivé de x² c'est 2x, celle de x³ c'est 3x² donc celle de xⁿ⁺¹ c'est... ?

pour ta fonction uⁿ il manque un morceau de phrase


pour la dérivée de 1/sin²x on utilise la formule précédente f=uⁿ avec u = sin(x) et n=-2 : f' = n*u'*u^n-1

on a alors f' = -2 * cos(x) * sin^-2-1(x) = -2 cos(x) / sin³(x)


pour la primitive c'est ok

pour 1/x la fonction est continue sur l'intervalle considéré.
pour l'existence de la primitive la continuité suffit.
apres pour l'unicité on considère F et G deux primitives de f qui vérifient F(1)=G(1)=2.
On a alors F' = f = G', d'où F'-G' = 0 soit (F-G)' = 0 donc F-G = cte. Or en 1 F(1) - G(1) = 0, donc cte = 0. D'où F=G et on a l'unicité.

Rq : Une primitive de 1/x est ln(x)...tu ne dois pas encore l'avoir vu donc ca ne sert à rien de se lancer dans le calcul de cette primitive