Bonjour,
J´aimerais avoir des avis sur ma solution de cet exercice, car je doute sur la validité de ma réponse sur la dernière question en particulier ...
Dans un repère orthonormal, on note P la parabole d´équation.
Objectif : Déterminer l´ensemble des points M d´où l´on peut mener à P deux tangentes perpendiculaires.
On suppose que M de coordonnées (x0; y0) est un point de E (l´ensemble recherché) et de cette hypothèse on essaie de déduire des conditions sur x0 et y0. Par hypothèse, il passe 2 tangentes à P par M, notées T et T´. Notons P´ et P" leurs points de contact avec P, d´abscisses a et c.
1) a) Prouver que T a pour équation y = 2ax - a² De même, que T´ a pour équation y = 2cx - c²
// Bon on applique bêtement la formule du cours
b) Prouver que l´appartenance de M à T et T´ se traduit respectivement par :
a² - 2x0a + y0 = 0 [1]
c² - 2x0c + y0 = 0 [2]
// On utilise les formules précédantes.
2) a) Prouver que 4ac = -1 [3]
// Puisque par hypothèse T et T´ sont perpendiculaires, alors 2a*2c = -1 <=> 4ac = -1.
b) Déduisez alors de [1], [2] et [3] que y0 = -1/4 et dc que M apaprtient à la droite fixe d´équation y = -1/4
// 4ac = -1 <=> ac = -1/4
D´où y0 = -1/4 <=> y0 = ac <=> 2x0a - a² = ac
Clairement, a =/ 0 d´après [3] d´où 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c. Ainsi, montrer que y0 = -1/4 est vraie, revient à montrer que 2x0 = a + c est vraie.
[1] - [2] = a² - c² + 2x0(c - a) = 0 <=> (a + c)(a - c) - 2x0(a - c) = 0 <=> (a - c)(a + c - 2x0) = 0
En particulier nous avons dc 2x0 = a + c comme convenu.
Ainsi M(x0; y0) <=> M(x0; -1/4). On en déduit alors que M appartient pour tout x0 à la droite "d" d´équation fixe y = -1/4
3) Si M est un point de "d", peut-on mener de M deux tangentes à P perpendiculaires ? Montrer que la réponse est oui. Concluez.
// Par hypothèse, M € d <=> M(x0 ; -1/4).
M € T <=> y0 = 2x0a - a²
M € T´ <=> y0 = 2x0c - c²
Il reste donc à montrer que T et T´ sont perpendiculaires, i.e, ac = -1/4.
Par hypothèse, y0 = -1/4 <=> 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c
(on reprend la même démo que toute à l´heure)
Ainsi, E est l´ensemble des points M se situant sur la droite y = -1/4.
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