Nombre complexe

[invite5a7fc599]

bonjour a tous, j'ai trouvé un exercice de mathématiques sur les nombres complexes assez complexe j'orais aimé avoir une aide pour resoudre une question de cet exercice car je suis bloqué dessus et étant perfectionniste ça m'enerve ^^
voila la question:

on considère l'équation (E) :
z^3 - ( 4+i)*z^2 + (7+i)*z -4 =0
où z est designe un nombre complexe
Il faut montrer que (E) admet une solution réelle, notée z1

j'ai essayé de developper en remplaçant z par x+iy mais je suis arrivé à un developpement trop compliqué, c'est peut être la solution mais je suis bloqué car il faut une solution reelle donc un nombre reel et non un immaginaire pur et ici je ne sais plus quoi faire...
Merci de m'apporter votre aide
bonne soirée
bonne année et bonne sante
et bonne chance
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[danyvio]

Développons, développons, il en restera bien quelque chose...

[invite5a7fc599]

maintenant, j'essaye de factoriser l'équation pour trouver un trinome du second degré... toujours aucuns resultats

[invite58a61433]

Bonsoir

Je te conseillerai d'essayer des racines évidentes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

j'ai essayé de developper en remplaçant z par x+iy mais je suis arrivé à un developpement trop compliqué, c'est peut être la solution mais je suis bloqué car il faut une solution reelle donc un nombre reel et non un immaginaire pur et ici je ne sais plus quoi faire...

Développement compliqué ? Simple : il suffit de ne pas développer !
Dis que z1 est une solution réelle et tu trouves une expression du genre A + i B = 0 où A et B sont réels.

[invite5a7fc599]

la solution c'est 1 sauf que je ne l'ai pas trouvé par le calcul mais par "tatonnement"^^

[invitea3eb043e]

Alors on va en dire un peu plus :
Tu écris que le réel r est solution, donc :
r^3 - (4+i) r² + (7+i) r - 4 = 0
qui équivaut à :
[r^3 - 4 r² + 7 r - 4] + i [- r² + r] = 0
soit quelque chose qui ressemble à
A + B i = 0 avec A et B réels, non ?
On en conclut que B = - r² + r = 0 (A on s'en fiche au début)
Ca donne 2 valeurs possibles de r. On voit tout de suite que l'une ne convient pas.