Exercice fonction inverse & tangente

[inviteedb554ed]

Bonsoir à tous !

J'ai ici un exercice que je trouve assez complexe... Pouvez-vous m'apportez un peu votre aide ? D'autant plus que je finis par être bloquée...

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Il s'agit d'une hyperbole (H), qui représente la fonction inverse f, elle est donc définie sur f(x)=1/x.
Soit les points A(1;-1); B(1;2) et C(2;0).

1. D'abord je dois tracer (H) (avec précision) et placer A,B et C.
Combien semble-t-il y a voir de tangentes à (H) passant par A, B et C ? (conjecturer)

2. Soit F un point de (H) d'acsisse a. Ecrire une équation de la tangente delta_a à (H) au point F. Soit M(x;y) un point donné.
Montrer que la droite delta_a passe par M à condition que a²y-2a+x=0 (E).

3. Trouver alors, pour chacun des points A, B et C, le nombre de tangentes qui passent par ce pont. Tracer ces droites (sans chercher leur équation).

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1. Cette question ne m'a pas poser trop de difficultés bien que j'espère avoir été assez précise en traçant (H).
En tout cas je pense qu'il y a 2 tangentes à (H) passant par A et une tangente à (H) passant par C et pas de tangente à (H) passant par B.
On peut supposer que A est un point de la droite de symétrie entre les 2 courbes et que C est un point d'une droite parallèle à la droite de symétrie passant par A.J'ai quelques problèmes d'informatique, je ne peux donc pas vous montrer ma courbe pour le moment... Je vous la poste dès que possible.

2. J'ai donc d'abord calculer l'équation de la tangente delta_a :
delta_a = f'(a)(x-a)+f(a)
delta_a = -1/a² * (x-a) + 1/a

Ensuite on a donc :
y = -1/a² * (x-a) + 1/a
0 = -1/a² * (x-a) + 1/a - y
0 = (-1/a²)*x + a/a² + 1/a -y
0 = (-1/a²)*x + 1/a + 1/a -y
0 = (-1/a²)*x + 2/a -y
0 = (-1/a²)*x + 2a/a² -y
0 = (-x+2a)/a² -y
0 = (-x+2a-ya²) / a²
0 = -x+2a-ya²
donc 0 = x-2a+ya²

3. Nous avons donc : a²y-2a+x = 0

Donc, pour le point A, on a :
a²*(-1)-2a+1 = 0
-a²-2a+1 = 0
et à partir de cela, des amis m'ont dit d'utiliser delta pour trouver et claculer le nombre de racines... Mais je ne comprends pas vraiment pourquoi et comment faire ensuite pour trouver le nombre de tangente passant par A...
Je ne vois pas non plus comment tracer ces droites...

C'est donc à ce moment que je bloque...
Pouvez-vous me corriger et m'aider s'il vous plait ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses !
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[invite1237a629]

Plop,

Il s'agit d'une hyperbole (H), qui représente la fonction inverse f, elle est donc définie sur f(x)=1/x.

Miaou ? Que signifie la phrase en gras ?

Pour les tangentes, je dirais 2 pour C, mais ça reste de la conjecture... (un peu fatiguée pour vérifier avec les calculs, mais on devrait trouver avec la suite )

deltaa = f'(a)(x-a)+f(a)

Apparemment, il y a un problème de vocabulaire.
"delta a" correspond au nom de la tangente. Là, ce que tu as écrit est l'équation de la tangente. Il faut écrire :

"delta a est la tangente à *blablabla* et a pour équation :
y=f'(a)(x-a)+f(a)"

Et par rapport à l'énoncé, je pense qu'il serait bon de rédiger un petit peu plus

Tu peux ajouter que tout point de la tangente, M, de coordonnées (x,y) aura celles-ci qui vérifieront y=f'(a)(x-a)+f(a)
Et là, tu fais les calculs

Et tu conclus en disant que la tangente *blabla* passe par M(x,y) si *blabla*




Pour la question 3, il y a un problème de compréhension. Avant de te jeter aveuglément sur les indications données par tes amis, pose toi les questions qu'il faut

Si un point de H a pour abscisse a, quelle est son ordonnée ? Et ce point fait-il partie de la tangente ?

[inviteedb554ed]

Tout d'abord, merci à toi MiMoiMolette de m'aider (encore ! )

Donc je reprend :

1. Il s'agit d'une hyperbole (H), qui représente la fonction inverse f, elle est donc définie par f(x)=1/x. C'est correct comme ça ?

2. L'équation de la tangente delta_a est :
y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = -1/a² * (x-a) + 1/a (et là j'ai poursuivis un peu)
y = (-1/a²)*x + a/a² + 1/a
y = (-1/a²)*x + 1/a + 1/a
y = (-1/a²)*x + 2/a

Ensuite j'ai effectivement tendance à négliger la rédaction... Je vais essayer de corriger ça.


3. si un point de (H) a pour abcisse a, on a :
y= (-1/a²)*x + 2/a soit :
y = (-1/a²)*a + 2/a
y = -a/a² + 2/a
y = -1/a + 2/a
y = 1/a, c'est son ordonnée
et le point de (H) de coordonnées ( a ; 1/a ) appartient à la tangente...

[invite1237a629]

^^

C'est r'parti (après, je dois bosser alors je te laisserai cogiter dessus)

y = (-1/a2)*x + 2/a

Et alors, tu peux obtenir l'équation donnée par l'énoncé a²y-2a+x=0. En fait, ton premier calcul pour la question 2 est bon. Il fallait juste ne pas balancer directement cela pour la question

Si tu veux un avis, tu peux toujours poster la rédaction entière de ton dm...


Et je pense que pour la question 3, il faut que tu détermines a, pour A, B, C, tel que la tangente passe par A, B ou C justement

Et après, tu réécris l'équation de la tangente avec le a que tu as trouvé et tu vois combien de couples (x,1/x) peuvent être solutions de l'équation. Et d'après toi, comment pourrais-tu conclure ? Pourquoi est-ce que je te demande de faire cette manip' ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb554ed]

Ils donnaient déja les coordonnées de A, B et C
donc je reprend l'équation de la tangente :

ya²-2a+x = 0

Donc pour le point A de coordonnées (1;-1) on a :

a²*(-1) - 2a + 1 = 0
soit : -a² - 2a + 1 = 0

comme c'est un trinôme du second degré, on calcule le nombre de racine :

delta = b² - 4ac = 4* (-1)*1 = 4+4 = 8

il y a donc 2 racines :

x' = (2 - racine de 8) / -2 = -1 + (racine de 2)
et x'' = (2 + racine de 8) / -2 = -1 - (racine de 2)

ça signifie en fait qu'il y a 2 tangentes à (H) qui passent par le point A et qu'elles ont pour abcisse -1 - (racine de 2) et -1 + (racine de 2)

Ensuite je fais pareil pour les points B et C...
Je me trompe ?

Après pour la rédaction, j'ai des problèmes d'ordi et je ne peux donc pas scaner ni mon DM, ni ma courbe... (et j'ai un petitpeu la flemme de retaper tout mon DM donc c'est pas grave... J'ai rédiger un peu à ta manière pour la 2. et pour le reste ça devrait aller )

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

En attendant le retour de notre molette ( ) je te guide un peu

ça signifie en fait qu'il y a 2 tangentes à (H) qui passent par le point A et qu'elles ont pour abcisse -1 - (racine de 2) et -1 + (racine de 2)

Ensuite je fais pareil pour les points B et C...
Je me trompe ?

Tu te trompes, non pas dans le fait qu'il y a bien deux tangentes qui passent par A, mais pour la suite... Une tangente n'a pas d'abscisse voyons

Je crois que ce qui te manque c'est du recul, ce qui fait que tu as de gros gros problèmes de réaction qui te feront à coup sûr perdre des points.

Il faut que tu réfléchisse : que signifie le résultat que tu as obtenu sur le nombres de solutions de ton équation en a ? Que représentait a au début ?

Après pour la rédaction, j'ai des problèmes d'ordi et je ne peux donc pas scaner ni mon DM, ni ma courbe... (et j'ai un petitpeu la flemme de retaper tout mon DM donc c'est pas grave... J'ai rédiger un peu à ta manière pour la 2. et pour le reste ça devrait aller )

C'est le molette's power qui t'habitera alors

[invite1237a629]

La molette, elle te pouet.

[invite9c9b9968]

La molette, elle te pouet.

Qu'est-ce que c'est que ces manières ?

[inviteedb554ed]

Je vous coupe dans votre petite confrontation

a est le coefficient directeur de la tangente et les solutions que j'ai trouvé (x' et x'') sont les abcisses des points par lesquels passe les tangentes à (H) passant par le point A.
Si je rédige comme cela, c'est bon ? : "il y a deux tangentes à (H) qui passent par le point A(1;-1) et qui coupent chacune (H) aux points d'abcisse x' et x'' ".

(j'ai effectivement de gros problèmes de rédaction qui me font perdre souvent des points...:?

[inviteedb554ed]

désolée... boulette ! et le délai d'édition a expiré...)

une tangente à une courbe ne coupe pas cette courbe donc je dois plutôt dire : "il y a deux tangentes à (H) qui passent par le point A(1;-1) et qui passent chacune par les points d'abcisse x' et x'' situés sur (H)". C'est mieux ?

[invite9c9b9968]

C'est mieux en effet, mais tu peux encore faire mieux

""Il y a deux tangentes à (H) qui passent par le point A(1;-1) : une qui est tangente à H en (x',f(x')) et une autre qui est tangente à H en (x'',f(x''))"

[inviteedb554ed]

a ouaiiii !

en tout cas Merci beaucoup à vous deux pour votre aide !