Démo sur exposant de 2

[invite85d09bae]

Hello tout le monde!

J'essaie de faire un exo d'arithmétique dont voici l'énoncé:

On choisit 2 entiers naturels n et m (n< ou égal à m). On écrit la Décomposition en Facteurs Premiers de tous les entiers compris entre n et m. Démontrer que le maximum de l'exposant de 2 dans ces décompositions n'est atteint qu'une seule fois.

Voici ma démo qui n'est pas très (du tout même ) rigoureuse et je voudrais savoir si j'ai bon, la corriger ou la parfaire:

Si l'intervalle (en nombres entiers) [n;m] contient une puissance de 2, alors l'exposant max de 2 est atteint uniquement pour la puissance maximale de 2, car sinon, en multipliant par 2 (donc en rajoutant 1 à l'exposant déjà maximal), on sort de l'intervalle (par exemple prenons n=50 et m= 886, on aura l'exposant max de 2 atteint uniqument pour 512=2^9, les autres puissances étant forcément < à 9, sinon même si =9, la DFP du nombre qui suit imposera à 512 d'être multiplié par 3, nombre qui ne sera plus dans [50;886]).

hhm...c'est très confus je sais....c'est pas grave, continuons:

Si l'intervalle [n;m] ne contient PAS cette fois de puissance de 2 (par exemple : n=600 m=1000), alors on prend le plus grand exposant k de 2 situé juste avant n (soit dans notre exemple 512=2^9 < 600), donc la plus grande puissance de 2 dans notre intervalle, sera k-1 (et le nombre 2^(k-1) sera multiplié par 3 pour tomber dans l'intervalle voulu), atteinte une, et une seule fois, car sinon la DFP du nombre qui suit imposera que ce nombre soit multiplié par 3 (ou 5, ou 3², ou plus...) et sorte de l'intervalle étudié.

Voilà, d'abord est-ce que j'ai dit quelque chose de faux? d'abord, ça, ensuite, pour la formulation mathématique...pouvez-vous m'aider please?

Merci d'avance!
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[bubulle_01]

L'énoncé de ton exercice m'échappe un peu ...
Si l'on prend pour le couple , alors l'intervalle contient soit et soit
Le maximum de l'exposant de 2 serait ainsi atteint deux fois dans cet intervalle ...

[invite1237a629]

Plop,

Et 16, ce ne serait pas 2^4 ?

Pô le temps d'y réfléchir plus en profondeur, mais un raisonnement par l'absurde marcherait bien ici =) et cette séparation des cas a l'air d'être une bonne idée...

Brefle :P

[invite85d09bae]

Justement, c'est pour ca que j'ai différencié les cas et j'ai particulièrement insisté pour "prendre la puissance maximale de 2", d'où le 2^4 effectivement.

Ce que je chercher surtout, c'est "mathématiser" tout ca rigoureusement, sinon, je pense pas vraiment avoir faux, auquel cas je vous demanderez de bien vouloir me corriger svp

Raisonnement par l'absurde, j'y ai aussi réfléchi, mais ce que je veux exprimer est tellement simple que je n'arrive qu'à montrer que tout est absurde et que le truc que j'ai trouvé c'est bon !! comment dire mathématiquement que parmi la suite de chiffres : 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 9 est le plus grand?

En fait, je pense que le raisonnement que j'ai fait (parce que j'y ai vraiment beaucoup réfléchi) s'est construit uniquement à partir de "c'est pas ca, c'est pas ca, c'est pas ca....il manque quoi?......ah le dernier truc: c'est ca!!"

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Et en disant : , tu peux retrouver des choses

[bubulle_01]

En gros
Du coup, en prenant n'importe quel intervalle fini et la valeur maximale de telle que est contenu dans l'intervalle, alors est contenu dans l'intervalle.
Il intervient alors deux cas :
Si est lui aussi contenu dans l'intervalle, alors n'est pas contenu dans l'intervalle car on a pris maximal tel que appartient à l'intervalle. Donc il n'y a qu'un seul nombre tel que intervient dans sa DFP, soit maximum de la puissance 2, atteint une seule fois.
Si n'appartient pas à l'intervalle, alors la conclusion est simple et est le maximum de l'exposant 2, atteint une fois.
Dans les deux cas, le maximum est atteint une fois.
Mon explication n'est pas très claire, n'hésite pas à demander

[bubulle_01]

Décidément, je dis beaucoup de choses inutiles ... ^^
Encore plus simple :

On considère un intervalle fini.
On prend la valeur maximale de n telle que est inclut dans . Alors est contenu dans et ne l'est pas (maximalité de ).
Ensuite, si est contenu dans l'intervalle, alors n'est pas contenu et donc est l'exposant maximum de 2, atteint une fois.
Si n'est pas contenu, alors est le maximum de l'exposant en 2, atteint une fois car n'est pas contenu dans .
Cela doit être déja plus clair ^^
PS : Désolé pour le triple post

[invite85d09bae]

Jte remercie bubulle_01 c'est clair comme ca, je vais retravailler ca merci

J'ai pleins d'exos d'arithmétique de ce type et aussi en géométrie, donc je risque de revenir pour d'autres demandes. Merci.

[invite57a1e779]

Décidément, je dis beaucoup de choses inutiles ... ^^
Encore plus simple :

On considère un intervalle fini.
On prend la valeur maximale de n telle que est inclut dans . Alors est contenu dans et ne l'est pas (maximalité de ).
Ensuite, si est contenu dans l'intervalle, alors n'est pas contenu et donc est l'exposant maximum de 2, atteint une fois.
Si n'est pas contenu, alors est le maximum de l'exposant en 2, atteint une fois car n'est pas contenu dans .
Cela doit être déja plus clair ^^
PS : Désolé pour le triple post

Je ne comprends pas pourquoi on aurait Alors est contenu dans , l'intervalle peut avoir pour borne supérieure.

Vraiment plus simple :
Si l'exposant est atteint deux fois, cela veut dire que l'on a deux entiers et avec , et , donc .
Comme est l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers, les entiers et sont impairs, et il existe un entier pair avec , donc , et l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de est strictement supérieur à puisque est pair.
Ainsi un exposant qui est atteint deux fois n'est pas le plus grand.
Le plus grand exposant n'est donc atteint qu'une seule fois.

[invite85d09bae]

En conclusion, quelle serait la meilleure démarche?

Pour montrer que l'exposant de 2 est atteint une seule fois, il suffira de montrer que s'il est atteint 2 fois, alors forcément, la décomposition en FP du 2ème est multiplié par 3, au moins, et ca suffit non? le reste en découle :

dans ce cas....si le 2ème nombre n'appartient plus à l'intervalle, on aura montré que le premier est le seul et unique exposant de 2 la plus grande dans l'intervalle et si le 2ème nombre appartient encore à l'intervalle (l'intervalle sera dans ce cas très grand), alors le premier nombre considéré n'est pas la plus grande puissance de 2 de l'intervalle, et il existe une puissance de 2 encore plus grande telle que si l'on considère un autre nombre avec une puissance de 2 égale, celui-ci ne sera plus dans l'intervalle...mais plus simplement, on parvient à la démo la plus simple et la plus aboutie en disant ca:

Pour montrer que l'exposant de 2 est atteint une seule fois, il suffira de montrer que s'il est atteint 2 fois, alors forcément, la décomposition en FP du 2ème est multiplié par 3, au moins,

non?

EDIT: l'idée est claire mais la formulation difficile, donc pourquoi ne pas rester le plus simple possible dans la formulation?

[invite57a1e779]

En conclusion, quelle serait la meilleure démarche?

Pour montrer que l'exposant de 2 est atteint une seule fois, il suffira de montrer que s'il est atteint 2 fois, alors forcément, la décomposition en FP du 2ème est multiplié par 3, au moins, et ca suffit non? le reste en découle :

Pour montrer que l'exposant de 2 est atteint une seule fois, il suffira de montrer que s'il est atteint 2 fois, alors forcément, il y a un nombre qui admet une exposant plus grand entre les deux fois où il est atteint, ainsi que je l'ai proposé. Je ne vois pas ce qu'un facteur 3 vient faire là-dedans.

Par exemple, si, entre m et n, il y avait et avec le plus grand exposant p, il y aurait aussi avec l'exposant p+1, ce qui est impossible.

[invite85d09bae]

Effectivement c'est bien comme ca. Le facteur 3 vient de la DFP d'un nombre qui a déjà 2^p comme DFP : 2^p < 2^p.3, 2^p.3 étant le nombre dont l'exposant de 2 est p et qui "suit directement" celui qui a le même exposant p. C'est pour ca, suffisait plus qu'à voir si ce dernier appartient à l'intervalle ou pas, et on aura démontré l'unicité de la puissance max.

Mais ce que t'as fais est peut-être bien meilleur.

[invite57a1e779]

Effectivement c'est bien comme ca. Le facteur 3 vient de la DFP d'un nombre qui a déjà 2^p comme DFP : 2^p < 2^p.3, 2^p.3 étant le nombre dont l'exposant de 2 est p et qui "suit directement" celui qui a le même exposant p. C'est pour ca, suffisait plus qu'à voir si ce dernier appartient à l'intervalle ou pas, et on aura démontré l'unicité de la puissance max.

Mais ce que t'as fais est peut-être bien meilleur.

Je ce que j'ai fait n'est pas meilleur, c'est mieux rédigé, compréhensible, et surtout, c'est juste.

Parce que je n'ai toujours pas compris comment on pouvait assurer que était effectivement dans l'intervalle donné initialement.

Par exemple ne contient pas d'entier de la forme .
Donc, quand bubulle_01 dit "On prend la valeur maximale de n telle que est inclut dans ", il peut se faire que tels n'existent pas, et tout le raisonnement ne vaut plus rien.