Hello tout le monde!
J'essaie de faire un exo d'arithmétique dont voici l'énoncé:
On choisit 2 entiers naturels n et m (n< ou égal à m). On écrit la Décomposition en Facteurs Premiers de tous les entiers compris entre n et m. Démontrer que le maximum de l'exposant de 2 dans ces décompositions n'est atteint qu'une seule fois.
Voici ma démo qui n'est pas très (du tout même) rigoureuse et je voudrais savoir si j'ai bon, la corriger ou la parfaire:
Si l'intervalle (en nombres entiers) [n;m] contient une puissance de 2, alors l'exposant max de 2 est atteint uniquement pour la puissance maximale de 2, car sinon, en multipliant par 2 (donc en rajoutant 1 à l'exposant déjà maximal), on sort de l'intervalle (par exemple prenons n=50 et m= 886, on aura l'exposant max de 2 atteint uniqument pour 512=2^9, les autres puissances étant forcément < à 9, sinon même si =9, la DFP du nombre qui suit imposera à 512 d'être multiplié par 3, nombre qui ne sera plus dans [50;886]).
hhm...c'est très confus je sais....c'est pas grave, continuons:
Si l'intervalle [n;m] ne contient PAS cette fois de puissance de 2 (par exemple : n=600 m=1000), alors on prend le plus grand exposant k de 2 situé juste avant n (soit dans notre exemple 512=2^9 < 600), donc la plus grande puissance de 2 dans notre intervalle, sera k-1 (et le nombre 2^(k-1) sera multiplié par 3 pour tomber dans l'intervalle voulu), atteinte une, et une seule fois, car sinon la DFP du nombre qui suit imposera que ce nombre soit multiplié par 3 (ou 5, ou 3², ou plus...) et sorte de l'intervalle étudié.
Voilà, d'abord est-ce que j'ai dit quelque chose de faux? d'abord, ça, ensuite, pour la formulation mathématique...pouvez-vous m'aider please?
Merci d'avance!![]()
-----