Suites réelles, rapidité de convergence

[invitefdc8f5b1]

Bonjour, j'aurai une question niveau terminale S.

Voilà, j'ai deux suites (Un) et (Vn) telles que (Vn) converge vers L, et Vn différent de L pour tout n entier naturel.

A t on: (Un - L)/(Vn - L) --> 0 ==> Un-->L ?

J'aurai tendance à dire que oui, car si le quotient tend vers 0 avec un dénominateur qui tend vers 0, alors le numérateur doit lui aussi tendre vers 0, et ceci encore rapidement que le dénominateur.

Mais ce raisonnement me paraît trop simple, et je pense passer à côté d'un cas particulier que je ne trouve pas. Alors je voulais savoir ce que vous en pensiez.

Merci, Cordialement.
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[invite35452583]

A t on: (Un - L)/(Vn - L) --> 0 ==> Un-->L ?

Oui c'est (largement) suffisant : il suffit de multiplier les deux limites de Vn-L et de (Un-L)/(Vn-L) pour montrer que Un-L tend vers 0.

EDIT : en fait, dans la même idée, il suffit que la valeur absolue de (Un-L)/(Un-L) soit majoré par un réel indépendant de n.

[invitefdc8f5b1]

Merci beaucoup!

Du coup dans la définition suivante:

définition:
Soit (Un) une suite réelle qui tend vers l, Un différent de l pour tout n,
Soit (Vn) une suite réelle qui tend vers l, Vn différent de l pour tout n,

on dit que (Un) converge plus vite que (Vn) vers l si (Un-l)/(Vn-l)--->0

je ne comprends pas que l'on donne comme condition que Un-->l si finalement le rapport l'impose...

Mais merci pour la réponse!

[God's Breath]

Merci beaucoup!

Du coup dans la définition suivante:

définition:
Soit (Un) une suite réelle qui tend vers l, Un différent de l pour tout n,
Soit (Vn) une suite réelle qui tend vers l, Vn différent de l pour tout n,

on dit que (Un) converge plus vite que (Vn) vers l si (Un-l)/(Vn-l)--->0

je ne comprends pas que l'on donne comme condition que Un-->l si finalement le rapport l'impose...

Mais merci pour la réponse!

Tu confonds deux choses :
Un théorème, "si Vn tend vers l, et si (Un-l)/(Vn-l) tend vers 0, alors Un tend vers l", qui permet de prouver la convergence de Un en cas de besoin.

Une définition de la comparaison des vitesses de convergence qui n'a d'intérêt, et ne peut être posée, que pour des suites dont on sait a priori qu'elles ont même limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefdc8f5b1]

Oui mais quand on regarde bien, cette condition est une restriction inutile. Je veux dire que pour prouver qu'une suite (Un) converge plus vite qu'une suite (Vn) et qu'on connait la limite de (Vn), plutôt que de vérifier que (Un) converge bien vers cette limite puis ensuite qu'elle converge plus vite, il suffit de vérifier directement la définition. Et le fait que (Un) tende vers cette limite n'est plus une condition, mais une conséquence de la définition.

Pour moi, je pourrais dire ceci:
Définition:
Soit (Un) une suite réelle et (Vn) une suite réelle qui tend vers l, Vn différent de l pour tout n,

on dit que (Un) converge plus vite que (Vn) vers l si (Un-l)/(Vn-l)--->0


Les définitions sont au final équivalentes non? Et on est bien dans les mêmes conditions!
En fait, je vois surtout l'avantage de cette définition pour le cas où on n'arrive pas à prouver que la suite (Un) converge vers l, mais on sait que si elle converge, alors elle converge vers l.

Pensez vous que si je dois écrire une leçon, je dois mettre la définition classique, puis mettre en proposition ou conséquence après la définition ce que j'ai mis dans mon premier post?

[God's Breath]

Oui mais quand on regarde bien, cette condition est une restriction inutile. Je veux dire que pour prouver qu'une suite (Un) converge plus vite qu'une suite (Vn) et qu'on connait la limite de (Vn), plutôt que de vérifier que (Un) converge bien vers cette limite puis ensuite qu'elle converge plus vite, il suffit de vérifier directement la définition. Et le fait que (Un) tende vers cette limite n'est plus une condition, mais une conséquence de la définition.

Pour moi, je pourrais dire ceci:
Définition:
Soit (Un) une suite réelle et (Vn) une suite réelle qui tend vers l, Vn différent de l pour tout n,

on dit que (Un) converge plus vite que (Vn) vers l si (Un-l)/(Vn-l)--->0


Les définitions sont au final équivalentes non? Et on est bien dans les mêmes conditions!
En fait, je vois surtout l'avantage de cette définition pour le cas où on n'arrive pas à prouver que la suite (Un) converge vers l, mais on sait que si elle converge, alors elle converge vers l.

Pensez vous que si je dois écrire une leçon, je dois mettre la définition classique, puis mettre en proposition ou conséquence après la définition ce que j'ai mis dans mon premier post?

Si je note l'ensemble des suites, et l'ensemble des suites de limite , La définition classique conduit à définir la relation sur l'ensemble . On peut donc, avant toute autre chose, étudier des propriétés de cette relation telle que la réflexivité, la symétrie, l'antisymétrie, la transitivité,...

On peut remarquer que le critère qui intervient dans cette définition intervient aussi dans un théorème de convergence.

La définition que tu proposes est une relation entre un élément de et un élément de et, en tant que telle, elle n'a aucun intérêt.

[invitefdc8f5b1]

Je vois ce que vous voulez dire.
Je n'avais pas du tout pensé à ceci car au niveau où on étudie la vitesse de convergence (vraiment très très bas) on n'étudie pas de relation binaire. On cherche juste à introduire le coefficient de convergence, et une notion d'accélération de convergence bateau. Ma "définition" ne gène en rien le reste des parties étudiées.

Je vais quand même reprendre la définition classique, en espérant que mon prof ne me pose pas la question "pourquoi imposer à (Un) de converger vers l alors que c'est une conséquence de la définition", sachant que je ne peux pas donner votre explication vu le niveau auquel je me place pour la leçon.

Merci pour l'explication.