Exercice Barycentre (1ère S)

[inviteedb554ed]

Bonsoir à tous !

J'ai un exercice à faire sur les barycentres mais je suis bloquée dès le début (je me mélange un peu tout )

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Soit un triangle ABC et M un point quelconque du plan.
On désigne par S,Q,R les symétriques du point M par rapport, respectivement, aux milieux E,F,L des côtés [AB], [BC], [AC].

1. Déterminer les 3 réels a, b et c tels que :
S soit le barycentre de (A,a), (B,b), (M,c);
Q soit le barycentre de (B,a), (C,b), (M,c);
R soit le barycentre de (A,a), (C,b), (M,c);

2. On note G le centre de gravité du triangle ABC et K celui de SQR.
Montrer que : SA+SB+QB+QC+RA+RC = 3KM (ce sont tous des vecteurs)

3. En déduire que
2(SG+QG+RG)=3KM

4. Montrer que G est le milieu de [MK].

Voilà le fameux triangle :



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1. Bon alors je ne sais vraiment pas comment m'y prendre.
Alors S est le barycentre de (A,a), (B,b), (M,c) ce qui revient à dire que
aSA+ bSB + cSM = vecteur nul (avec a+b+c différent de 0)
C'est la même chose pourles deux autres barycentres mais après je ne sais vraiment pas comment faire pour déterminer les réels a, b, et c.

2. Si G est le centre de gravité du triangle ABC cela veut dire que G est l'isobarycentre des points (A,1), (B,1), (C,1), d'où GA + GB + GC = vecteur nul. Pareil pour K, mais ensuite je n'arrive pas à démontrer l'égalité demandée...

3. SA + SB + QB + QC + RA +RC = 3KM
SG+GA + SG+GB + QG+GB + QG+GC + RG+GA + RG+GC = 3KM
2SG + 2GA + 2GB + 2QG + 2GC + 2RG = 3KM
Or, on sait que GA+GB+GC = vecteur nul car G est le centre de gravité du triangle ABC donc 2GA+2GB+2GC = vecteur nul.
Donc il nous reste :
2SG + 2QG + 2RG = 3KM
soit 2(SG+QG+RG) = 3KM.

4. Je suppose qu'il faut repartir de l'égalité 2(SG+QG+RG) = 3KM et arriver à MG=1/2MK puisqu G doit être le milieu de [MK] mais je sais pas comment y arriver.

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Voilààààà Je vous remercie d'avance pour vos réponses et votre aide
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[invitec3b9dee7]

Essaie de trouver une relation entre les vecteurs SA,SB et SM

[inviteedb554ed]

Essaie de trouver une relation entre les vecteurs SA,SB et SM

Tout d'abord, merci à toi de me répondre !

Alors j'ai cherché une relation entr ces vecteurs mais tout ce queje peux dire c'est que aSA+bSB+cSM= vecteur nul après je suis vraiment bloquée je ne sais pas comment je peux arriver à déterminer a, b et c

[invite1237a629]

Plop,

Justement, tu veux trouver a b et c tels que la somme soit nulle. Tu ne vas pas partir de la relation a machin + b truc + c bidule =0. Ce qu'il faudrait faire c'est partir de la géométrie et arriver à une relation qui te donne a, b et c. Par exemple :

SA+SB=SM (si SABM est un parallélogramme). De là, SA+SB-SM=0 et tu as a,b et c.

Bon j'y ai pas réfléchi (miam time ), mais à première vue ça a l'air d'être ça. Si tu arrives à le montrer, c'est tout bon ^^

Et la prochaine fois, fais mieux les droites perpendiculaires parce que entre SM et AB c'est pas évident

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb554ed]

Ok Merci MiMoiMolette, je vais voir si je peux démontrer ça ^^

Et la prochaine fois, fais mieux les droites perpendiculaires parce que entre SM et AB c'est pas évident

SM et AB ne sont pas perpendiculaires (et c'est pas moi qui est tracé la figure )

[invite1237a629]

Oui, pardon...

Montrer que SAMB est un parallélogramme est en fait évident (les diagonales... ?)

[inviteedb554ed]

Oui, SAMB est un parrallélogramme car les diagonales SM et AB se coupent en leurs milieux E.
On en déduit donc (ce que tu m'as dit) que SA+SB=SM et que de là que
SA+SB-SM=0. Ansi cela veut dire que S est le barycentre du système (A,1);(B,1);(M,-1) ?

et ça revient à la même chose pour le point Q : à savoir que BMCQ est un parallélogramme (mais il faudrait prouver que F est le milieu de [MQ] ) pour repartir en disant que QB+QC=QM et donc on aurait QB+QC-QM=0 ce qui voudrait dire que Q est le barycentre du système (B,1);(C,1);(M,-1)

Idem pour le point R : ARCM est un parallélogramme (car ces diagonales se coupent en leurs milieux mais il faudrait aussi prouver que L est le milieu de [MR] ) et on aurait :
RA+RC=RM soit RA+RC-RM=0 et donc R serait le barycentre du système (A,1),(C,1),(M,-1).

Et donc j'aurai répondu à la question en disant que a=1, b= et c=-1 mais il faut que je parvienne à démontrer que BMCQ et ARCM sont des parallélogrammes mais je crois que j'ai zappé un truc là...

Petite question pourla rédaction : Comment s'apelle la relation qui dit que dans le parallélogramme SAMB, on a SA+SB=SM ? (je n'ai pas souvenir de ça)

[invite1237a629]

Je n'ai pas encore vérifié les calculs, mais :

Petite question pourla rédaction : Comment s'apelle la relation qui dit que dans le parallélogramme SAMB, on a SA+SB=SM ? (je n'ai pas souvenir de ça)

SAMB parallélogramme. Donc SB=AM. Donc SA+SB= ? ^^

Il me semblait qu'au lycée, on apprenait SA+SB=SM

[inviteedb554ed]

Je n'ai pas encore vérifié les calculs, mais :



SAMB parallélogramme. Donc SB=AM. Donc SA+SB= ? ^^

Il me semblait qu'au lycée, on apprenait SA+SB=SM

Possible enfin peut-être au collège parce que je m'en rappellais pas...

Par contre je viens de reméditer à fond ma question 2. et je pense avoir trouvé...mais ça me semble être un peu tordu au début...

2. On a donc prouvé au 1. que SA+SB-SM=0, que QB+QC-QM=0 et que RA+RC-RM=0
Ce qui nous ferait :
SA+SB-SM+QB+QC-QM+RA+RC-RM=0 (est-ce qu'il est possible de passer directement à cette question ? Est-ce que je dois développer ou expliquer quelques chose ? =} toujours pour la rédaction)
Parce qu'avec ça on aurait ensuite :
SA+SB-SK-KM+QB+QC-QK-KM+RA+RC-RK-RM=0
SA+SB+QB+QC+RA+RC-SK-QK-RK-3KM=0

et comme ils nous disent au dévut que K est le gentre de gravité du triangle SQR, on en déduit que KS+KQ+KR=0 soit -SK-QK-RK=0

Donc ils nous reste :
SA+SB+QB+QC+RA+RC=3KM !

Tadaaaam

[invite1237a629]

Dis donc toi, je vais te tirer les oreilles !

Tu doutes que L soit le milieu de [RM] ? Regarde ta figure, c'est même marqué o: regarde comment tu as construit R

Pareil pour F.

Eh oh, réfléchis quand même et demande toi pourquoi SA+SB=SM ! C'est du Chasles de base


(tout en vecteurs bien sûr)



Ta démonstration du 2 n'a rien de tordu (à mes yeux)

[inviteedb554ed]

Dis donc toi, je vais te tirer les oreilles !

Tu doutes que L soit le milieu de [RM] ? Regarde ta figure, c'est même marqué o: regarde comment tu as construit R

Pareil pour F.

Eh oh, réfléchis quand même et demande toi pourquoi SA+SB=SM ! C'est du Chasles de base


(tout en vecteurs bien sûr)

J'ai réfléchis, j'ai réfléchis ^^

SB=AM
SB=AS+SM
-AS+SB=SM
SA+SB=SM

Par contre oui je doute que L soit le milieu de [RM] car je me souviens plus du tout pourquoi j'ai noté çà, parce qu'ils nous disent dans l'énoncé que L est le milieu de [AC]mais pas de [RM]

[invite1237a629]

R est le symétrique de M par rapport à L... Donc ?


Non, pour SA+SB=SM, c'est :

SB=AM car SBMA est un parallélogramme.

Donc SA+SB=SA+AM=SM

[inviteedb554ed]

R est le symétrique de M par rapport à L... Donc ?


Non, pour SA+SB=SM, c'est :

SB=AM car SBMA est un parallélogramme.

Donc SA+SB=SA+AM=SM

a ouiiii ^^, donc RL=RM
pfff, j'avais oublié cette partie de l'énoncé
(je sais que je suis un peu longue mais merci quand même à toi pour ta patience et ton aide )

Bon je vais essayer de finir mon exo ^^

[invite1237a629]

No problemo ^^

Bonne chance

[inviteedb554ed]

Bon, j'crois que ça y est maintenant!

4. on a prouvé que 2(SG+QG+RG)=3KM
Donc : 2(SK+KG+QK+KG+RK+KG)=3KM
2SK+2KG+2QK+2KG+2RK+2KG=3KM
2SK+2QK+2RK+6KG=3KM
Or, on sait que K est le centre de gravité du triangle SQR, donc on a : KS+KQ+KR=0, donc K est aussi le barycentre de -2KS+2KQ-2KR=0 donc, on a : 2SK+QK+RK=0

Il nous reste donc :
6KG=3KM
KG= 3/6 KM
KG= 1/2 KM
On en déduit donc que G est le milieu de [MK].