Parabole(conique)+ demonstration

[inviteb955f10d]

Donc bonjour
j'ai un devoir un math et je ne vois pas vraiment ce qu'il faut faire
-Le projecteur d'un phare automobile a la forme d'un paraboloïde formant une cuvette de 15cm de diamètre et 2.5 cm de profondeur.

A quelle distance du point S(sommet) faut il placer me filament pour que les rayons lumineux soit réfléchi parallèlement a l'axe du paraboloïdes?
Merci d'avance pour vos pistes



j'ai egalement une demonstration
On donne:
-La parabole P de foyer F et de directrice d
-Un point K de P et K', sa projection orthogonale sur d
Demontrer qie la tangente t a P en K est la médiatrice de segment [FK']

Donc voila, si vous pouviez me guider, vous me retireriez une grosse epine du pied
Merci d'avance
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[invitea3eb043e]

D'abord la seconde partie : la démonstration était classique en Terminale autrefois mais ça manque de rigueur.
Le mieux est de chercher le foyer de ta parabole : il est sur l'axe Oy où O est le sommet et OF=f (inconnu pour l'instant). La directrice est donc forcément la droite y = - f car O est à mi-chemin entre F et la directrice.
Tu peux alors facilement écrire pour tout point que KF est égal à y+f, c'est-à-dire la distance à la directrice.
Ça donne l'équation de la tangente en fonction de f et tu écris que pour x=7,5 alors y = 2.5. Ça donne f donc la position de F et ça répond à la question 1.
Tu peux alors calculer la tangente en K par la dérivée et montrer qu'elle coupe l'axe des x à mi-chemin entre F et K'.
Une figure propre aide.

[inviteb955f10d]

Merci de m'avoir repondu=)
Mais l'exercice 1 et 2 sont separés
Pour le 1, j'ai trouvé que X= D/2(ce qui est logique) mais y, je dirais = 2,5 mais c'est au feeling

Et la demonstration est ce que je hais en math, une demonstration literale
Pas le moindre petit chiffre :S

[invitea3eb043e]

Je ne vois pas ce que tu as fait, je ne trouve pas ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb955f10d]

Pour le 1, j'ai diametre = 15
Comme le point S se trouve au milieu, il suffit de diviser D/2 et on trouve 7,5

[invite897678a3]

Bonjour,

j'ai [le] diametre = 15

Attention, FreeDumz! Il ne s'agit pas d'une sphère coupée en son milieu.

Il faut relire l'énoncé:

la forme d'un paraboloïde formant une cuvette de 15cm de diamètre et 2.5 cm de profondeur

.

Si Jeanpaul le permet, voici un petit croquis (coupe du projecteur)

[invitea3eb043e]

Il reste à trouver le foyer.

[inviteb955f10d]

ce que l'on m'a repondu sur un autre forum:
En coupant dans un plan de symétrie du paraboloïde, on obtient une parabole d'équation y=a x²
On sait que pour x=D/2 (D diamètre), y=p (p profondeur)
Donc a=4p/D²
Et le foyer a pour coordonnées (0,1/(4a)) soit (0,D²/(16p))
A vérifier ...

[inviteb955f10d]

voici une reponse pour le1 qui a tendance a confirmer mon point de vue
Je ne comprend pas d'ou prouvient le a mais pour les points c'est ceux que je prendrais
bjr,

La parabole est une conique à un foyer F. Dans une four solaire,
les rayons lumineux, tous parallèles à l'axe focal
et venant de l'infini, après s'être reflétés sur le bord du miroir
parabolique, passent par le foyer.
Dans le trajet inverse, dans un phare de voiture, on place la source lumineuse au foyer F.


Dans un repère orthonormé d'origine S et d'axe x'ox confondu avec l'axe focal,
si a=SF , la parabole a pour équation:



et passe par le point de coordonnées

Je n'ai pas fait le calcul. J'espère que le foyer n'est pas à l'extérieur du phare

[invitea3eb043e]

ce que l'on m'a repondu sur un autre forum:
En coupant dans un plan de symétrie du paraboloïde, on obtient une parabole d'équation y=a x²
On sait que pour x=D/2 (D diamètre), y=p (p profondeur)
Donc a=4p/D²
Et le foyer a pour coordonnées (0,1/(4a)) soit (0,D²/(16p))
A vérifier ...

C'est exact, il faudrait le justifier.

[inviteb955f10d]

mais comment puis je justifier?
Et pourrais je avoir un peu d'aide pour la demonstration?

[invitea3eb043e]

Eh bien tu dis que le foyer a pour coordonnées [0;f] et que la directrice a pour équation y = -f comme dit plus tôt.
Alors tu prends un point M de la parabole de coordonnées [x;y]
On a évidemment : MF² = x² + (y-f)²
et la distance entre M et la directrice est y+f.
Reste à écrire l'égalité des carrés des distances : x² + (y-f)² = (y+f)²
et ça donne ce qu'on appelle la forme canonique de la parabole :
y² = 2 p x où p est appelé paramètre de la parabole (la distance entre le foyer et la directrice, soit 2 f).
Cette équation justifie le nom de parabole qui vient du grec "comparaison". En effet, on compare l'aire d'un carré de côté y et d'un rectangle de côtés x et 2 p.