Nombre complexe

[invite03e66274]

Bonjour ,voici l'énoncé d'un exercice qui vient d'un concour ^^ :
Dans le repere (0,u,v) Soit z1 et z2 les affixes de M1 et M2, on a z2 = z1 + i*(z1/|z1|)
et il faut vérifier que |z2|²-|z1|²= 1,j'ai essaye de factoriser, de mettre au carré mais rien a faire je trouve pas. Ensuite il faut en déduire que |z2| est différent 0
ca je pense que c'est logique car |z1|² + 1 est forcément different de 0.
ensuite il faut determiner la nature du triangle Om1M2, je pense que c'est un triangle rectangle en 0 mais je ne sais pas comment le montrer ;peut on dire que arg(|z2|²/|z1|² ) = arg (z2-0)/(z1-0) = i = pi/2 (2pi) ?

PS :On m'a dit pour la premiere question qu'on pouvais passer de là z2 = z1(1 +i/|z1|) à là |z2|² = |z1|² ( 1 + 1/|z1|²) mais je ne comprend pas comment.

Voila merci d'avance ^^.
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Dans le repere (0,u,v) Soit z1 et z2 les affixes de M1 et M2, on a z2 = z1 + i*(z1/|z1|)
et il faut vérifier que |z2|²-|z1|²= 1,j'ai essaye de factoriser, de mettre au carré mais rien a faire je trouve pas.

As-tu calculé |z₂| ?

Duke.

[invite03e66274]

Bonjour a toi ,non car je vois pas comment on peut calculer le module de z1 + i*(z1/|z1|), a moins qu'on puisse dire que |z1 + i*(z1/|z1|)| =
|z1| + |i*(z1/|z1|)| mais je ne sais pas si on en a le droit.

[invite03e66274]

de plus meme si cétait possible en mettant au carré on aurait |z1|² + 2(|z1|²/||z1||) + 1 au lieu de |z1|² +1, sauf erreur de ma part ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Comment calcules-tu le module de a + i b ?

Duke.

[Jeanpaul]

Si tu écris z1 sous sa forme polaire rho exp(i*phi) ça déroule tout seul.
Attention en calculant les modules : ça ne vaut racine(a² + b²) que si a et b sont réels.

[invite03e66274]

C'est bon j'ai reussi grace a l'aide dun ami ^^, j'ai remplacé z1 par x+iy et calculer lemodule de z2 puis jai mis au carré et puis j'ai trouver le résultat voulu ^^ .Mais je vous remercie quand meme pour votre aide ^_^.

[Jeanpaul]

C'est dommage qu'on ne fasse plus de géométrie car on pouvait résoudre ce problème sans écrire la moindre équation.

[invite03e66274]

lol, en ce qui me concerne je n'aime pas beaucoup la géometrie donc je prefere qu'il n'y en est pas plus ^_^.