Bonjour tout le monde.
J'ai actuellement une petite limite à calculer mais je tombe à chaque fois sur des formes indéterminées !!
lim x (ln x)²
x->0
J'ai eu une petite piste, mais j'arrive pas à conclure :
lim x (ln x)² = exp^(lnx) * (ln x)²
x->0
En posant Y = ln x, on a :
lim exp^(Y)* Y² = 0
Y-> - infini
que faire ?
Bonsoir
Qu'est-ce qui pose problème ? Tu as trouvé la limite, non ? (et elle est bonne)
ah j'ai trouvé ? O__O
bah le problème, c'est qu'on demande la limite en 0 et pas en "-infini"
Bah oui, tu as trouvé.
On te demande. Tu as choisi de poser Y=ln(x) donc tu obtiens :
C'est par comparaison des fonctions usuelles (racine et ln dans le cas présent). Si vous n'avez pas vu ça, ça se démontre assez facilement par des études de fonctions.
Ton changement de var ne te mènera nulle part je pense
Non,Envoyé par Flyingsquirrel
Bah oui, tu as trouvé.
On te demande
Exp(y) tend vers 0 quand y->-oo
y² tend vers +oo quand y->-oo
Nous sommes toujours dans un cas indéterminé, bien que la limite soit effectivement de 0.
Salut,
Croissance comparée, tu connais ?
Tout polynôme est "inférieur" à l'exponentielle.
Pour la limite en - infini, il suffit de faire un autre changement de variable : y -> -y et on aurait la limite en + infini de Y²/exp(y), ce qui donne indubitablement 0
Je trouve ça bien compliqué, il "suffit" de dire que racine de x* ln(x) tend vers 0 en 0 (limite connue au même titre que celle d'un polynôme sur exp) et que puisque la fonction x->x² tend vers 0 en 0, xln(x)² tend également vers 0.
Pas besoin de changement de var
NB : On précisera bien 0+ partout vu que y'a ln dans le coin..
on m'a dit la même chose mais je comprend pas en quoi les 2 limites sont les mêmes :sBah oui, tu as trouvé.
On te demande
Cherche pas trop c'est clairement faux. Enfin les deux limites sont bien égale, mais l'écriture avec les Y ne t'avance absolument pas.
En quoi est-ce faux ? Le changement de variable est légal et MiMoiMolette a expliqué que la seconde limite se trouve avec les croissances comparées.
Faire un changement de variable presque inutile (bien que juste) c'est pas ce que j'appelle trouver, je pensais que tu disais directement à partir de la forme Y²e^Y que ça tendait vers 0. Effectivement j'ai mal lu, au temps pour moi.
Cependant je reste sur mon opinion, faire ce changement de variable c'est uniquement reculer pour mieux sauter... accroché à une exponentielle plutôt qu'un ln, ce qui n'est pas bien avantageux
Faire un changement de variable presque inutile (bien que juste) c'est pas ce que j'appelle trouver, je pensais que tu disais directement à partir de la forme Y²e^Y que ça tendait vers 0. Effectivement j'ai mal lu, au temps pour moi.
Cependant je reste sur mon opinion, faire ce changement de variable c'est uniquement reculer pour mieux sauter... accroché à une exponentielle plutôt qu'un ln, ce qui n'est pas bien avantageux
Perso, je me souviens bien plus de la limite de l'exponentielle sur x que de l'autre... Et je précise, chuis pas la seule(sur un échantillon de 3 personnes, ET ALORS ? XD)
Comme le répète Flyingsquirrel, avec un changement de variable, nul besoin de se reporter à l'écriture de départ : les limites sont les mêmes !
Quand tu dis que la limite de 1+x quand x tend vers 0 est 1, c'est exactement pareil de dire que la limite de t quand t tend vers 1 est 1.
t = 1+x
Quand x tend vers 0, t tend vers 1.
Pour montrer que 1+x tend vers 1, il faut et il suffit de démontrer que t tend vers 1.
Ici, c'est pareil...
On fait un changement de variable si on veut, na !
"Il suffit de montrer que t tend vers 1"Perso, je me souviens bien plus de la limite de l'exponentielle sur x que de l'autre... Et je précise, chuis pas la seule
Comme le répète Flyingsquirrel, avec un changement de variable, nul besoin de se reporter à l'écriture de départ : les limites sont les mêmes !
Quand tu dis que la limite de 1+x quand x tend vers 0 est 1, c'est exactement pareil de dire que la limite de t quand t tend vers 1 est 1.
t = 1+x
Quand x tend vers 0, t tend vers 1.
Pour montrer que 1+x tend vers 1, il faut et il suffit de démontrer que t tend vers 1.
Ici, c'est pareil...
On fait un changement de variable si on veut, na !
Je sais faire des changements de variable)
Mais en général c'est plus pour des intégrales que des limites, et j'aime quand c'est simple.
Je n'en démordrai pas, je préfère ma méthode
euh ... j'ai trouvé une autre méthode :
x (ln x )² = (√x)² * [ ln (√x)² ]²
= (√x)² * [ 2 ln (√x) ]²
= [(√x)*2 * ln (√x) ]² = [(√x) * ln (√x) * 2]²
or lim x(ln x) = 0 (d'apres le cours)
x->0+
donc lim x (ln x)² = (0 *2)² = 0
VOILAAA
Je vais pouvoir dodo tranquillement maintenant.
mais l'histoire de la 1ere méthode m'obsède encore...
je me souviens pas de connaitre "la croissance comparée" :S
PS : c'était un exo donné lors d'un controle à Louis le Grand en TS :O
45 min pour avoir 0.5 points ...
Je parlais pour pitai... Pour toi, c'est ptet bien plus utile dans les intégrales, mais bon, va falloir le rappeler, t'es dans "mathématiques du collège et du lycée", tout le monde ne voit pas les choses comme toi. Si quelqu'un ne comprend pas pourquoi on n'a rien d'autre à faire après un changement de variable, on lui explique, on va pas lui dire "mais c'est évident ! pas besoin de faire de changement de variable !"
Ben c'est bieneuh ... j'ai trouvé une autre méthode :
x (ln x )² = (√x)² * [ ln (√x)² ]²
= (√x)² * [ 2 ln (√x) ]²
= [(√x)*2 * ln (√x) ]² = [(√x) * ln (√x) * 2]²
or lim x(ln x) = 0 (d'apres le cours)
x->0+
donc lim x (ln x)² = (0 *2)² = 0
VOILAAA
Je vais pouvoir dodo tranquillement maintenant.
mais l'histoire de la 1ere méthode m'obsède encore
je me souviens pas de connaitre "la croissance comparée" :S
PS : c'était un exo donné lors d'un controle à Louis le Grand en TS :O
45 min pour avoir 0.5 points ...
C'est vrai, en effet ça manquait d'explications !
Pitai :
Pour ta méthode, c'est en gros ce que je proposais.
La croissance comparée c'est précisément lim xlnx en 0 = 0, lim lnx/x en oo=0, etc. C'est la croissance comparée de toutes les fonctions usuelles.
Cela est juste (d'après le changement de variable : Y = ln x) car :
Une dernière question :
[TEX\lim_{x \to 0} x\ln^2(x)[/TEX].
On a : lim exp^(Y) * Y² (quand Y-> -inf )
ce qui est égale d'après le changement de variable à : lim exp^(Y) * Y² ( quand ln x-> - inf )
Or lim ln x = -oo (quand x-> 0)
Donc :
c'est bien ça ?
