Bonjour,
Est-ce que quelqu'un peut m'aider avec cette question svp ?
(Tous les logarithmes sont en base 10)
Déterminer toutes les solutions réelles du système d'équations
x + log x = y - 1
y + log(y - 1) = z - 1
z + log(z - 2) = x + 2
De plus, démontrer que le système n'admet aucune autre solution.
Merci de votre collaboration!
Salut,
Ben... J'ai des solutions, mais sans avoir fait de calculs. Le truc, c'est que si on te pose la question, le plus simple serait de simplifier les logarithmes, ce qui est faisable lorsque x=1 par exemple.
Ainsi, x=1, y=2, z=3 est solution du système. Reste à voir comment on te demande de le montrer ^^'
Salut,
Je doute que mon prof accepte cette solution sans démonstration. J'ai utilisé les propriétés des logarithmes et j'ai transformé les expressions à la forme exponentielle, sans succès !
Bonjour.
On trouve très rapidement une relation entre x, y-1 et z-2 qui détermine l'ensemble des solutions mais je ne sais pas si cela est suffisant...
Relation : Le produit des trois nombres vaut l'unité
Duke.
Et si on ajoute les 3 lignes, on voit quelque chose de sympa....
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bonjour,
Oui, j'avais déjà remarqué que x(y-1)(z-2) était égal à 1 en vertu des propriétés des logarithmes. Je me demande toutefois s'il y a d'autres solutions que x=1, y=2 et z=3.
Merci!
Je te proposerais bien une solution graphique sans équations.
Déjà remarquer que ton système peut s'écrire :
x + log(x) = Y
Y + log(Y) = Z
Z + log(Z) = x
en posant y-1 = Y et z-2 = Z
Ensuite trace la courbe y = x + log(x) et la droite y = x et là tu regardes un peu.
Tu pars d'une valeur de x, d'abord x>1 (strict), regarde où est Y, puis tu pars de ce Y et tu trouves Z. Tu verras que ça part dans le décor et qu'on ne peut revenir en X.
Idem si on part de x<1 (strict).
Seule possibilité : x = Y = Z = 1
Si tu préfères, tu peux étudier la suite u(n+1) = u(n) + log(u(n)) et voir quand elle croît ou décroît.
Bonjour!
Je te remercie beaucoup pour ta solution, Jean-Paul. J'apprécie ton aide.
Bonjour Jean-Paul,
Pour revenir à mon système d'équations logarithmiques, on remarque qu'il y a des
restrictions (x supérieur à 0, y plus grand que 1 et z plus grand que 2). C'est parce que le domaine d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs. Est-ce que cet argument est suffisant pour conclure qu'il n'y a pas d'autres solutions que x=1 , y=2 et z=3 ?
Qu'en penses-tu ?
Merci
L'idée est la suite u(n+1) = u(n) + log(u(n))
Si on part de u(0)>1 elle croît sinon elle décroît et finit par donner un nombre négatif mais jamais elle ne revient sur son point de départ. Si on part de 1 non seulement elle revient à son point de départ mais en plus elle ne bouge pas.
Donc tu dis que la solution x est le point de départ u(0), que Y vaut u(1), que Z = u(2) mais u(3) ne peut valoir u(0) = x parce que la suite est monotone. Donc si x ne vaut pas 1, ça n'est pas possible. Le changement de variable a pour but de permettre de se ramener à cette suite.
Bonjour Jean-Paul,
Ah, je vois ! Maintenant, je comprend ce que tu voulais dire. Si tu as le temps, pourrais-tu regarder mon probème "Démonstration par récurrence". Je crois avoir réussi les parties A et B, mais je suis bloqué à la partie C.
Merci!
Michel Vienneau
