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[TS +] Arithmétique, somme des inverses



  1. #1
    kidnapped

    [TS +] Arithmétique, somme des inverses


    ------

    Bonsoir, j'aimerai savoir comment on démontre que la somme des inverses n'est pas un entier?

    -----
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

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  3. #2
    God's Breath

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , et on isole le terme dans la somme, afin d'écrire est un entier impair.

    Par suite n'est pas entier puisque le numérateur est impair alors que le dénominateur est pair.

    La seule valeur entière de la série harmonique est donc obtenue pour .

  4. #3
    kidnapped

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , .
    Ni pourquoi q est impair.
    Merci
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  5. #4
    God's Breath

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Citation Envoyé par kidnapped Voir le message
    Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre
    Ni pourquoi q est impair.
    Merci
    La suite des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ... est strictement croissante. Tout entier n est compris entre deux termes et deux seulement de cette suite.

    Comme , parmi les dénominateurs de 1 à n, seul est multiple de . Si on l'isole, les dénominateurs auront au plus en facteurs et le dénominateur commun se factorise en avec impair sinon il y aurait en facteur.

  6. #5
    bubulle_01

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
    Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
    Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
    Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
    Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...
    Non je n'isole que la plus grosse puissance de 2.

    Par exemple, si je vais jusqu'à n=10, j'isole et le calcule

    Lorsque je réduis au même dénominateur les termes entre parenthèses, il y a des dénominateurs multiples de 4, mais il n'y en a pas qui soit multiple de 8.
    Le dénominateur commun est donc 4q avec q impair.

    Ma somme est donc de la forme avec le numérateur impair et le dénominateur pair : ce n'est pas un entier.

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  10. #7
    bubulle_01

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Ok !
    Tu n'avais pas mentionné le fait que la puissance était maximale.
    Cela va mieux comme ca

  11. #8
    God's Breath

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , et on isole le terme dans la somme, afin d'écrire ...
    Il me semble bien que définit comme la puissance maximale relativmente à l'entier auquel s'arrête la somme...

  12. #9
    bubulle_01

    Re : [TS +] Arithmétique, somme des inverses

    Arf oui exact
    J'associais cela à k moi ...

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