[TS +] Arithmétique, somme des inverses

[invite4e9186a9]

Bonsoir, j'aimerai savoir comment on démontre que la somme des inverses n'est pas un entier?
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[invite57a1e779]

Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , et on isole le terme dans la somme, afin d'écrire où est un entier impair.

Par suite n'est pas entier puisque le numérateur est impair alors que le dénominateur est pair.

La seule valeur entière de la série harmonique est donc obtenue pour .

[invite4e9186a9]

Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre

Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , .

Ni pourquoi q est impair.
Merci

[invite57a1e779]

Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre
Ni pourquoi q est impair.
Merci

La suite des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ... est strictement croissante. Tout entier n est compris entre deux termes et deux seulement de cette suite.

Comme , parmi les dénominateurs de 1 à n, seul est multiple de . Si on l'isole, les dénominateurs auront au plus en facteurs et le dénominateur commun se factorise en avec impair sinon il y aurait en facteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...

[invite57a1e779]

Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...

Non je n'isole que la plus grosse puissance de 2.

Par exemple, si je vais jusqu'à n=10, j'isole et le calcule

Lorsque je réduis au même dénominateur les termes entre parenthèses, il y a des dénominateurs multiples de 4, mais il n'y en a pas qui soit multiple de 8.
Le dénominateur commun est donc 4q avec q impair.

Ma somme est donc de la forme avec le numérateur impair et le dénominateur pair : ce n'est pas un entier.

[bubulle_01]

Ok !
Tu n'avais pas mentionné le fait que la puissance était maximale.
Cela va mieux comme ca

[invite57a1e779]

Pour tout entier , il existe un unique entier tel que , et on isole le terme dans la somme, afin d'écrire ...

Il me semble bien que définit comme la puissance maximale relativmente à l'entier auquel s'arrête la somme...

[bubulle_01]

Arf oui exact
J'associais cela à k moi ...