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Problème de suites



  1. #1
    Zibous

    Problème de suites


    ------

    J'ai un sujet d'annale à faire, et je bloque pour une question, et j'espère sincèrement que vous pourrez m'aiguiller...

    Voici le sujet :

    1. Préciser l'ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble
    par g (x)= ln( 1/(2-x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien.
    Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que
    l'image par g de l'intervalle I = [-2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

    2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
    u0 = -2
    un+1 = g (un)
    Montrer que u1 appartient à l'intervalle I = [-2 ; 0]. Prouver par récurrence,
    à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (un) a tous ses
    termes dans l'intervalle I et est croissante.

    b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
    v0 = 0
    vn+1 = g (vn)
    Calculer le terme v1 et montrer que -2 < u1 < v1 < v0 < 0. ( ce sont < ou = à)
    Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle
    [-2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on
    a :
    -2<un < vn <vn-1 <0. (ce sont < ou égal à)
    Préciser le sens de variation de la suite (vn).

    3.a) Soit m la fonction définie sur[0;+infini[ par m(x) = x-ln(1+x). Montrer que m est croissante et calculer m(0).
    En déduire que, pour tout x positif, on a : ln(1+x)< x (plus petit ou égal)
    b)Vérifier que, pour tout entier n, Vn+1 - Un+1=ln(1+((Vn-Un)/(2-Vn))
    En déduire que:Vn+1-Un+1<(Vn-Un)/(2-Vn)
    Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite(Vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0], donner un encadrement de 1/(2-Vn) et établir que:Vn+1 - Un+1< 1/2*(Vn - Un).
    Prouver alors que, pour tout entier naturel n, Vn - Un <(1/2^n) * (Vo-Uo).
    Que peut on déduire pour la suite de terme général Vn-Un et pour les suites (Un) et (Vn)?
    4. Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10^-4 de U10 et V10


    Je bloque en fait à la question2)a, lorsqu'il faut que je prouve que la suite Un a tous ses termes dans l'intervalle I.

    j'ai déjà prouvé qu'elle était croissante.

    Donc, je me suis dis qu'il fallait que je résolve l'équation g(x)=x pour trouver la limite et ainsi prouver que ça ne dépasse pas 0. Je sais déjà que Uo=-2.
    Mais elle est impossible puisque le logarithme népérien n'est jamais égale à lui-même.

    Merci d'avance de votre aide !! Bonne soirée à tous et à toutes !!

    -----

  2. #2
    bubulle_01

    Re : Problème de suites

    Salut !
    Déjà, est ce que tu comprends bien à quoi servent les questions précédentes ?
    D'une part, tu as prouvé que si alors .
    Que peux tu en déduire avec la suite ?

  3. #3
    Zibous

    Re : Problème de suites

    Je suis trop bête, ce sera pareil... sauf que mon x sera U.
    Merci beaucoup ^^

  4. #4
    Zibous

    Re : Problème de suites

    Mais est-ce que c'est tout de même bon , Parce que je ne sais pas si ma suite va au delà de 0...

  5. A voir en vidéo sur Futura

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