J'ai un sujet d'annale à faire, et je bloque pour une question, et j'espère sincèrement que vous pourrez m'aiguiller...
Voici le sujet :
1. Préciser l'ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble
par g (x)= ln( 1/(2-x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que
l'image par g de l'intervalle I = [-2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.
2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
u0 = -2
un+1 = g (un)
Montrer que u1 appartient à l'intervalle I = [-2 ; 0]. Prouver par récurrence,
à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (un) a tous ses
termes dans l'intervalle I et est croissante.
b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
v0 = 0
vn+1 = g (vn)
Calculer le terme v1 et montrer que -2 < u1 < v1 < v0 < 0. ( ce sont < ou = à)
Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle
[-2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on
a :
-2<un < vn <vn-1 <0. (ce sont < ou égal à)
Préciser le sens de variation de la suite (vn).
3.a) Soit m la fonction définie sur[0;+infini[ par m(x) = x-ln(1+x). Montrer que m est croissante et calculer m(0).
En déduire que, pour tout x positif, on a : ln(1+x)< x (plus petit ou égal)
b)Vérifier que, pour tout entier n, Vn+1 - Un+1=ln(1+((Vn-Un)/(2-Vn))
En déduire que:Vn+1-Un+1<(Vn-Un)/(2-Vn)
Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite(Vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0], donner un encadrement de 1/(2-Vn) et établir que:Vn+1 - Un+1< 1/2*(Vn - Un).
Prouver alors que, pour tout entier naturel n, Vn - Un <(1/2^n) * (Vo-Uo).
Que peut on déduire pour la suite de terme général Vn-Un et pour les suites (Un) et (Vn)?
4. Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10^-4 de U10 et V10
Je bloque en fait à la question2)a, lorsqu'il faut que je prouve que la suite Un a tous ses termes dans l'intervalle I.
j'ai déjà prouvé qu'elle était croissante.
Donc, je me suis dis qu'il fallait que je résolve l'équation g(x)=x pour trouver la limite et ainsi prouver que ça ne dépasse pas 0. Je sais déjà que Uo=-2.
Mais elle est impossible puisque le logarithme népérien n'est jamais égale à lui-même.
Merci d'avance de votre aide !! Bonne soirée à tous et à toutes !!
-----
alors