[TS+] Intégrales sympas

[inviteec581d0f]

Il faut voir que dès qu'on sait calculer une primitive où il y a du sin dedans (exclusivement, je veux dire qu'on intègre une fonction de la forme g(sin(x)), alors on sait le faire avec du cos, car le cosinus n'est rien d'autre qu'un sinus déphasé de pi/2, ie cos(x)=sin(x+pi/2).
Donc un changement de variable t=x+pi/2, ou simplement remarquer que f(x+pi/2)'=f'(x+pi/2) suffit amplement.

Donc pour int(1/cos(x)), se référer à int(1/sin(x)) par exemple.

Ah ouais quand même !! Pas mal la petite astuce

Oups ! Désolé ^^

C'est rien ^^ =D
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[Celestion]

Bonsoir,
Je vous en propose une un peu particulière :
où a un réel positif non nul.

[inviteec581d0f]

Bonsoir,
Je vous en propose une un peu particulière :

Salut,

=)

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=






Ensuite j'ai essayé on a xln(x)' = ln(x) +1 ; x²ln(x)' = 2xln(x) + x

Après ça l'intégrale tombe toute seule =)

C'est pas ça mais j'ai raté mon bus lol

[Flyingsquirrel]

Je vous en propose une un peu particulière :
où a un réel positif non nul.

 Cliquez pour afficher

Faire le changement de variable pour obtenir que l'intégrale égale à son opposé.

[invite787dfb08]

Salut,

=)

 Cliquez pour afficher

=

Je ne suis pas convaincu. Des explications peut être ?

[inviteec581d0f]

Dsl je l'ai faite le matin et j'étais pressé mdr ^^ :

=)

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=






Ensuite j'ai essayé on a xln(x)' = ln(x) +1 ; x²ln(x)' = 2xln(x) + x

et comme 2x = x + x..

Après ça l'intégrale tombe toute seule =)

C'est pas ça mais j'ai RE raté mon bus lol

[invitec053041c]

L'étape 2->3 est fausse.
Et je ne vois pas comment "avec ça l'integrale tombe toute seul", tu as trouvé une primitive du numérateur, et..?
IPP? je sais pas.

[Celestion]

Salut,

Gaara :
Je ne suis pas un mathématicien hors pair, mais j'ai remarqué que les astuces du type +1-1 ou +x-x etc permettent de simplifier des choses en particulier de faire apparaître des intégrales du type :



ex :





Mais je ne vois pas la simplification dans ce que tu as fait.

Indication :

 Cliquez pour afficher

-Utiliser le changement de variable proposé par Flyingsquirrel
()

-Faire une intégration par partie, en remarquant que :

Si vraiment vous n'y arrivez pas je vous poste la solution.

[inviteec581d0f]

En fait j'ai négligé le +1 au dénominateur.................. .........

Dsl pour ça -_-

[invitec053041c]

En fait j'ai négligé le +1 au dénominateur.................. .........

Dsl pour ça -_-

C'est pas le genre de choses à négliger :

1/(1+x²) donne du arctan
1/x² donne du -1/x !

[invite85d09bae]

Comment remarquer qu'on peut poser x=1/u ? ce sont les bornes a et 1/a qui mettent sur la piste?

EDIT : Et si l'on conclut, c'est égal à 0 alors? (désolé j'ai la flemme de prendre un crayon et un papier donc beaucoup de chances d'avoir faux :s...)

[inviteec581d0f]

C'est pas le genre de choses à négliger :

1/(1+x²) donne du arctan
1/x² donne du -1/x !

Encore dsl j'men veux lol je vais tenter le changement de variable pour massacrer cette intégrale

[Flyingsquirrel]

@ LightVador : les spoilers

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Comment remarquer qu'on peut poser x=1/u ? ce sont les bornes a et 1/a qui mettent sur la piste?

Oui. Il y a aussi le fait que .

Et si l'on conclut, c'est égal à 0 alors ?

Exact.

[invitec053041c]

a-t-elle été faite ?

(il faut quand même être conscient du fait que c'est une intégrale impropre).

[Celestion]

Salut,
Si on passe à une autre je donne la solution de l'intégrale précédente :
Changement de variable :

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Intégration par partie

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On trouve A=1 B=-1 C=0

[invite85d09bae]

Ledescat, j'ai pas vérifié si elle a déjà été faite, mais j'ai quand même essayé... avec un changement de variable. Et il faut dire que je ne suis pas vraiment expert en ce domaine :

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On pose , on a donc (je nomme ton intégrale I) :



Jusque là c'est bon? si oui...et bien je vois pas de suite à ça

PS : Merci Celestion pour ton intégrale et tes 2 corrections, c'est très intéressant!

[invite85d09bae]

Attends je vais la faire tout doucement, le forum étant mon brouillon :

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Mais je vois pas ensuite... si je veux soustraire, il faut déjà que les bornes soient....ah j'ai une idée :

puis un nouveau changement : et :



et sachant que : donc:



non je suis perdu

[invite85d09bae]

Arf, ne lisez pas mon post précédent, il n'a aucun sens

[invitec053041c]

Ledescat, j'ai pas vérifié si elle a déjà été faite, mais j'ai quand même essayé... avec un changement de variable. Et il faut dire que je ne suis pas vraiment expert en ce domaine :

 Cliquez pour afficher

On pose , on a donc (je nomme ton intégrale I) :



Jusque là c'est bon? si oui...et bien je vois pas de suite à ça

Oui c'est bon, donc:

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Tu peux par exemple ajouter les 2 et magouiller.. 2I=...

[invite85d09bae]

J'arrive à :

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ce qui fait:



ensuite...IPP avec u(x)=ln(x) et v'(x)=1????

[invite57a1e779]

LightVador,

Tu es dans la bonne direction. Il faut que tu essaie de transformer ta dernière intégrale, non par parties, mais par changement de variable.
En fait, le calcul de cet intégrale est un enchaînementpurement technique, mais difficile à imaginer tant qu'on ne l'a jamais vu fonctionner.

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Tu dois arriver à

[Celestion]

Pas tout à fait.

Attention je donne la réponse finale dans ce spoiler :

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En reprenant ce qu'a fait LightVador

[invite85d09bae]

waw, merci

fallait juste que je prenne un crayon et un papier

[invite787dfb08]

Plop

Serait-ce possible que quelqu'un détaille la résolution d'une intégrale "simple" avec un changement de variable, histoire que je vois un peu plus comment ça marche.... (j'ai la propriété mais ça reste assez abstraits sans bons exemples ).

Merci +++

[invitec053041c]

Salut.

Un exemple sans bornes:



On pose t=cosx

Donc dt/dx=d(cos(x))/dx=-sin(x), donc dx=-dt/(sin(x))

I devient:



Et donc (en remplaçant t par cos(x)):




Tu remarqueras que du x apparaît dans une intégrale en t, et tu n'as pas le droit de "sortir" le sin(x) de l'intégrale, car x et t ne sont pas des variables indépendantes.

Après, peut-être veux-tu un exemple avec des bornes à l'intégrale (et pas seulement une primitivation).

[invite787dfb08]

Hello

merci pour cet exemple, il est simple à comprendre .
Oui un exemple avec des bornes m'intéresses, j'en ai déjà vu quelques uns sans vraiment comprendre, peut être pourrais tu simplement reprendre l'exemple précédent....

Merci en tout cas

+++

[invite8e0f079b]

Pour ne pas ajouter un nouveau sujet , je up celui la.
J ai un petit probleme ,

la primitive de expo{ln((x+1)/(x+2))}

Forcement ca se reduit a calculer la primitive de : (X+1) / (x+2)

j integre par partie ca me donne:

=(x+1) ln(x+2) - Primitive de Ln (X+2)

= (x+1) ln(x+2)-{(x+2) Ln (x+2)-(x+2)}

C'est juste ainsi?? ...je pense pas vu que la reponse final est : X-Ln(X+2)+ 3


Merci d avance

[invite8e0f079b]

Tu as plus simple : écris x+1/x+2=1-1/x+2.
AInsi tu peux trouver LES primitives, qui sont de la forme X-ln(X+2)+K

Si tu veux vraiment faire une IPP, tu peux regrouper les termes en ln(X+2) et tu trouves (X+1)ln(X+2)-[(X+2)ln(X+2)-(X+2)+K]=-ln(X+2)+X+2+K, qui est une écriture équivalente car K peut prendre toutes les valeurs.

Reponse d ericc

[invitec053041c]

Avec des bornes, ça aurait donné, par exemple:



t=cos(x), dt=-sin(x)dx (même chose que l'autre),
et lorsque theta vaut 0, t vaut 1, lorsque theta vaut pi/2, t vaut 0, donc:

[invite787dfb08]

Ok merci Ledescat, je pourrai analyser tout ça en détail d'ici quelques jours, le temps que passe un petit exam, qui fait quand même un peu flipper....

+++