[TS+] Intégrales sympas

[Seirios]

Je fais un essai :

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Est-ce bon ? Y a-t-il des restrictions dans l'intervalle dues au développement en série entière ?

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[invite57a1e779]

Indication :

[Seirios]

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Y a-t-il des restrictions dans l'intervalle dues au développement en série entière ?

D'autant plus que par le test de d'Alembert, on obtient un rayon de convergence R=1. Donc l'intégrale indéfinie serait-elle valable uniquement pour calculer avec ? (ou peut-être également en -1 et/ou 1, je n'ai pas testé la convergence de la série en ces points)

[Celestion]

Je pense que tu peux utiliser les séries entières mais tu risque d'avoir du mal à remettre ça sous une forme habituelle. Bonne initiative cependant.

Je donne les coefficients car ce n'est pas très intéressant à calculer :



C'est une intégrale assez lourde de niveau prépa avec notamment les deux fonctions récurrentes des intégrales avec fractions rationnelles.

[Seirios]

Je pense que tu peux utiliser les séries entières mais tu risque d'avoir du mal à remettre ça sous une forme habituelle. Bonne initiative cependant.

Je n'ai effectivement pas réussi à remettre la série sous une forme habituelle, même en remarquant que , et que

Sinon, j'ai trouvé ce résultat (je détaillerai le calcul si c'est correcte) :

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[Celestion]

C'est bon.

[inviteec581d0f]

Je n'ai effectivement pas réussi à remettre la série sous une forme habituelle, même en remarquant que , et que

Peux tu m'expliquer comment tu "remarques" ce genre de truc ?


je comprends si tu ne réponds pas

[Celestion]

La première formule est tout aussi énigmatique pour moi.
En tout cas tu fais varier i dans une formule qui n'en contient pas.

Pour la seconde :
En partant de la suite géométrique :

[inviteec581d0f]

Merci Celestion,

*** d'accord

[inviteec581d0f]

Car pour remarquer ça :

Pour la seconde :
En partant de la suite géométrique :

il faut vraiment être space..

[invitec1242683]

Je suis d'accord , cependant le changement de variable u=-x²est compréhensible .

[invitec1242683]

En partant de la suite géométrique :

Pourquoi cela ? la suite n'est pas forcément convergente !

[invitec1242683]

ah j'ai pas vu la restriction u inférieur à 1 supérieur à -1

[Seirios]

La première formule est tout aussi énigmatique pour moi.
En tout cas tu fais varier i dans une formule qui n'en contient pas.

Il y a effectivement une erreur ; la somme se fait sur N et non sur i...

Peux tu m'expliquer comment tu "remarques" ce genre de truc ?

Dans le chapitre sur les séries entières d'un livre d'analyse, je me suis rappelé avoir vu la décomposition en série entière de la fontion réciproque de la tangente, et puis j'ai remarqué qu'il y avait certaines similitude avec la série que j'avais.

Mais je vais continuer à chercher, on ne sait jamais...

[Seirios]

C'est bon.

Alors voici mes calculs :

On écrit , puisque

On a alors

Soit, après avoir développé et ordonnée :

(1)

Cette égalité est vraie pour tout , donc notamment pour . On a alors

En insérant cette relation dans (1), on obtient :
(2)

On considère ensuite également le cas particulier où , ce qui nous amène à

Soit, en insérant cette relation dans (2) :

(3)

Notamment, pour ,

D’où, en mettant en relation avec (3) :

On peut ainsi déduire les valeurs de toutes les constantes, soit

Ainsi,

Ou alors, en posant , qui ne sert à rien en soit, sinon à éclaircir un peu l’expression :



Or

Mêmement, on obtient

On obtient finalement, en additionnant ces deux intégrales et en écrivant en fonction de :


Désolé pour les éventuelles erreurs de recopiage...

[Seirios]

Désolé, erreur de LaTeX (ça m'apprendra à ne pas me servir de la prévisualisation...). Je reprends après l'identification des constantes :


Ainsi,

Ou alors, en posant , qui ne sert à rien en soit, sinon à éclaircir un peu l’expression :



Or

Mêmement, on obtient

On obtient finalement, en additionnant ces deux intégrales et en écrivant en fonction de :

[Flyingsquirrel]

Aller, un peu de trigo : étant un paramètre réel, on cherche

[inviteec581d0f]

Très tendu.. je cherche

[inviteec581d0f]

Flyingsquirrel, pourrais-tu me donner une indication stp ?

je pinaille comme pas possible..

[Flyingsquirrel]

Flyingsquirrel, pourrais-tu me donner une indication stp ?

je pinaille comme pas possible..

Formules utiles :

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On peut retrouver la dernière relation en écrivant : puis en développant les deux cosinus avec . La même idée donne accès aux deux première formules.

Indication :

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Transformer autant que possible les sommes en produits. (en même temps, vues les formules que j'ai données, on s'en serait douté )

[inviteec581d0f]

Merci ^^

je tombe sur ça :

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Mais après je suis Lost le disparu

[Flyingsquirrel]

Merci ^^

je tombe sur ça :

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Mais après je suis Lost le disparu

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Au dénominateur c'est plutôt ce qui donne . Ensuite on peut faire apparaître des termes en et au numérateur dont certains vont se simplifier avec des termes du dénominateur.

Indication :

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Développer les deux termes et du numérateur en écrivant et puis en utilisant et

[invite85d09bae]

Flyingsquirrel, dans ta deuxième formule de ton deuxième spoiler, il faut un - au lieu du +.

[inviteec581d0f]

Re,

je pense avoir trouvé =) je posterais plus tard j'ai de groooooos problèmes pour l'inscription en prépa xD

++

[invite787dfb08]

Petites questions au niveau des compléments sur les intégrales que je me farcit doucement :

Au niveau des intégrales de Riemann
existe ssi alpha<1. On dit alors que cette intégrale converge.
existe ssi alpha>1. On dit alors que cette intégrale converge.

Est-ce suffisant de retenir ça ainsi que rapidement les méthodes de démonstrations (qui ne sont pas super durs), ou y a t il d'autres résultats intéressants concernant les intégrales de Riemann ?

Fonction

Je suis sur un exo sur cette fontion, qui est une limite. Le cas est étudié en 0 et en + l'infini, mais je ne vois pas trop quelles conclusions en tirer. C'est une intégrale particulière, sans plus... Je manque quelque chose ou bien ?

Intégrales de Wallis

Les 4 intégrales de Wallis demandent des méthodes un peu particulières pour être calculer. Assez simple à retenir. Bon à connaitre ?

Merci pour vos éclaircissements

+++

[Flyingsquirrel]

Flyingsquirrel, dans ta deuxième formule de ton deuxième spoiler, il faut un - au lieu du +.

Effectivement

Au niveau des intégrales de Riemann
[...]
Est-ce suffisant de retenir ça ainsi que rapidement les méthodes de démonstrations (qui ne sont pas super durs), ou y a t il d'autres résultats intéressants concernant les intégrales de Riemann ?

C'est tout ce qu'il y a à savoir. Ensuite on peut apprendre à utiliser ces intégrales pour montrer la convergence d'autres intégrales. (par comparaison par exemple)

Fonction

Je suis sur un exo sur cette fontion, qui est une limite. Le cas est étudié en 0 et en + l'infini, mais je ne vois pas trop quelles conclusions en tirer. C'est une intégrale particulière, sans plus... Je manque quelque chose ou bien ?

Je ne connais pas la question qui t'est posée mais j'imagine que le but est de trouver les valeurs de pour lesquelles existe, non ?

Intégrales de Wallis

Les 4 intégrales de Wallis demandent des méthodes un peu particulières pour être calculer. Assez simple à retenir. Bon à connaitre ?

Oui, c'est toujours utile de se souvenir de la méthode. De toutes façon ce sera revu en sup' et peut-être même en spé.

[invite787dfb08]

Pour la fonction , on étudie d'abord au voisinage de 0 et on montre qu'elle admet une limite finie. Ensuite au voisinage de + l'infini on la compare justement à une intégrale de Rieman pour montrer qu'elle converge. Et ensuite, la dernière partie de l'exo est de montrer par récurrence que :


Merci pour tes réponses

+++

[invite1237a629]

Pour la fonction , on étudie d'abord au voisinage de 0 et on montre qu'elle admet une limite finie. Ensuite au voisinage de + l'infini on la compare justement à une intégrale de Rieman pour montrer qu'elle converge. Et ensuite, la dernière partie de l'exo est de montrer par récurrence que :


Merci pour tes réponses

+++

Wii mais pour il y a des trucs "sympas" Si tu cherches des relations avec des trucs que tu connais, tu seras dépaysé par contre











et encore plusieurs ^^

[invite787dfb08]

Hey Molette !

J'avais aussi montré le joli : ...

Je la trouve juste moins interessante que les deux autres, cette intégrale. Mais bon

+++

[invite787dfb08]

M***rde je l'avais déjà dit ça en fait....