[TS+] Intégrales sympas

[inviteec581d0f]

Salut,

je vois qu'on parle de moi lol

le truc : [f(x)] c'est juste un truc que je fais pour ne pas me perdre

ça me dit que c'est la fonction que j'obtiens par IPP enfin je ne sais pas si tu me comprends..

pourquoi chipoter pour une notation, je te l'ai déjà dit tout à l'heure xD ^^


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[invite0c5534f5]

D'accord, c'est donc intuile

[inviteec581d0f]

T'inquiète ^^

je comprends ça peut dérouter, ça a fait la même chose pour mes profs

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Bon un changement de variable s'impose ^^

y = x^2 donc dy = 2x dx




et donc on a :



ce qui nous donne une primitive de la forme



soit

[invite787dfb08]

Note : la partie entière se note bien [] aussi
Les notations sont simplement à préciser quand elles ne sont pas "courantes".

+++

[Bleyblue]

Oh tiens une jolie :

[invite6f25a1fe]

désolé, j'ai fait n'imp

[invite787dfb08]

Oh tiens une jolie :

Chagement de variable je présume ???

[invite6f25a1fe]

Bonjour à tous,
désolé pour le message plus haut, mais j'étais parti avec la mauvaise intégrale...
Donc voila ma réponse :

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Avec un arccos(), on est obligé de faire une IPP, ce qui nous amène un premier terme : x.arccos((1-x)/(1+x))
Le deuxieme est l'intégrale de sqrt(x)/(1+x) au signe près
J'effectue un changement de variable y=sqrt(x) ce qui me donne l'intégrale de 2*x²/(1+x²) qui va m'amener de l'arctan
Tout caclul fait, j'obtient à la fin :
f(x)=x.arcos((1-x)/(1+x))-2(sqrt(x)-arctan(sqrt(x))

Bon, c'est assez moche à écrire sans Latex, mais bon...

P.S : j'utilise sqrt() pour la racine carré de x

[inviteec581d0f]

Je crois que c'est bon Scorp, j'ai comme toi

[Bleyblue]

Sinon on peut remarquer que l'intégrande se simplifie en (moyennant quelques chipotages) en :



ce qui simplifie tout (bon je n'ai pas trouvé cette simplication tout seul ça vient d'un de mes livres )

[invite1237a629]

En attendant, voici une petite intégrale indéfinie dont la résolution peut faire apparaître une astuce intéressante que je ne crois pas avoir encore vue dans le post : .

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On peut faire en transformant ?

[inviteec581d0f]

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On peut faire en transformant ?

Je pense toujours à cette méthode (passage par la formule d'Euler) mais je ne sais pas la rédiger ^^ quelqu'un saurait-il ?

[invite1237a629]

Je pense toujours à cette méthode (passage par la formule d'Euler) mais je ne sais pas la rédiger ^^ quelqu'un saurait-il ?

Comment ça tu ne sais pas la rédiger ?

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Pis après, simple intégration ^^

Ensuite, faut voir comment tu veux présenter le résultat : exponentielles ou fonctions trigonométriques.

et caetera

[invitec1242683]

Mouai mais en TS on ne sait pas si une fonction holomorphe ( au moins l'exponentielle complexe) a les mêmes propriétés de dérivation et d'intégration .

[invite1237a629]

Bah on considère i comme une constante, non ?

[invite787dfb08]

C'est vrai qu'on m'avait dans les pages précédentes déjà fortement suggéré d'éviter l'utilisation du log complexe, par exemple....

[invitec1242683]

Bien sur , mais utiliser une variable complexe est un peu déroutant pour ceux qui ne l'ont jamais vue dans le cadre d'une intégration ou d'une dérivation .

[invite1237a629]

Bien sur , mais utiliser une variable complexe est un peu déroutant pour ceux qui ne l'ont jamais vue dans le cadre d'une intégration ou d'une dérivation .

Dans le cadre de la dérivation, le passage sin -> cos avec ces formules d'Euler peut avoir déjà été abordé, non ?


Enfin, de toute façon ce qui est vu ici est un peu hors programme dirait-on
Désolée de la confusion.

En ce qui concerne le logarithme complexe, je pense que c'est plus complexe que la dérivation avec des complexes, mais je puis me tromper

[invite787dfb08]

Dans le cadre de la dérivation, le passage sin -> cos avec ces formules d'Euler peut avoir déjà été abordé, non ?

Oui c'est même "utilisé". Enfin dans mon cas, on en à eu en DS, même si je ne pense pas que ce soit exigible le jour du bac (tient d'ailleur, c'est plus qu'un souvenir celui - la ^^)...

Merci pour la proposition Molette

+++

[invitec1242683]

Molette tu as bien raison lol il faut FAIRE du hors programme c'est une nécessité : regarde les exos que je publie régulierement sur le forum ! mais parfois ca déroute un peu . Quitte à trouver une autre maniere pour calculer l'intégrale ca fait pas de mal

[inviteec581d0f]

Merci Molette, Galaxie et Weensie

j'y vois plus clair grâce à vous =)


je ne savais pas que c'était pareil avec le i ^^

=)

[Bleyblue]

Pour ce qui est du logarithme c'est plus difficile à utiliser et à définir sur les complexes que sur R.

Je ne me souviens plus des détails mais je peux aller chercher ça dans mon cours d'analyse de cette annés si ça intéresse quelqu'un

[invite0c5534f5]

Moi ça m'intéresse.

[invite787dfb08]

Intéressé aussi

[Bleyblue]

Je suis en train de me cuire des pâtes la
Je finis de dîner puis je vais vous chercher ça

[Bleyblue]

Bon j'oubliais que ça fait intervenir les intégrales curvilignes sur des chemins C¹ par morceaux dans , ce que vous ne connaissez probablement pas (à moins que ?)

Quoiqu'il en soit c'est pas dur à définir :

Si est une fonction continue sur un domaine U de et un chemin C¹ par morceaux, l'intégrale de f le long de est définie par :



Et maintenant pour la fonction log, je vais essayer de faire un truc compréhensible. Je fais ça en me basant sur mes notes de cours qui sont destinées à des étudiants en math de deuxième année, il y a peut-être moyen de faire ça de manière plus simple, je ne sais pas ...

Sur , on peut la définir en posant



On voudrait étendre cette définition aux complexes non nuls en posant :



étant un chemin de C\{0} allant de 1 à z.

Cette définition est cependant pas trop adaptée car elle dépend du chemin sur lequel on intègre.
Cependant si on se limite au domaine \ ce n'est plus le cas
(je ne vais pas commencer à détailler comment on sait ça, parcque ça fait intervenir d'autes notions et théorèmes d'analyse complexe et ça prendrait du temps de commencer à introduire tout ça)

En choisissant un chemin dans ce dernier domaine et en effectuant les calculs on tombe sur :



ou | | définit le module et arg l'argument.

Comme on s'est limité à \, l'argument est bien un unique nombre entre

Si on tente de reprendre la définition ci dessus sur tout \{0} on voit qu'il y a un problème car l'argument est n'est plus définit qu'a près. (k entier)

Avec cette définition ln n'est donc pas une fonction sur C\{0}. Cependant, comme il est définit à 2kpi près et que l'exponentielle complexe est 2pi périodique on a encore :

pour tout z non nul.

Voilà ce que j'ai pu trouver en piochant un coup dans mes notes

[invitec1242683]

Pas mal ! c'est on ne peut plus clair ! Je te conseille cependant de définir la notion de chemin

[Bleyblue]

Pas mal ! c'est on ne peut plus clair !

merci
Pour la notion de chemin c'est un peu pareil que dans R² mais sinon voilà la définition :

Un chemin C¹ par morceau c'est une application continue f : [a,b] -> C telle qu'il existe une subdivision a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b de [a,b] pour laquelle la restriction de f à chacun des [ti,ti+1] admet une dérivée continue sur l'intervalle.

(donc en gros c'est une courbe dans les complexes qui est "pas trop tordues", relativement régulière quoi)

[invitec1242683]

Encore parfaitement explicite ! wow un vrai pédagogue

[invite0c5534f5]

Bon ben Weensie est plus intelligent que moi
en même temps j'ai lu rapidement...