[TS+] Intégrales sympas

[invite263d7f23]

Un truc me chiffonne avec l'intégrale de sqrt(1-x²):

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Donc, je pose x=cos(2u), dx=-2sin(2u)du, je tombe au final, en intégrant, sur:
sin(4u)/4 - u .
Certes, on est content... mais, sin(4u)/4 - u n'est pas primitive de racine de (1-x²)... Enfin, comment on fait revenir les x ?

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[invite8d322e93]

Je pense que tu te mélanges un peu les pinceaux, entre les bornes d'intégration, la variable muette de l'intégrale,..

Bref, calcule plutôt

[FonKy-]

tu es sur de ton résultat ?

sinon pour revenir aux x je te rappelle que tu a poser x=cos 2u
et pourquoi (2u) d'abord?

[invite8d322e93]

Oui c'est vrai ça, pourquoi 2u ?
Sinon, sa copine :

[Celestion]

Attention je donne tout ou une partie des réponses dans ce spoiler.

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Je n'ai pas vérifié donc je ne garanti rien mais c'est comme ça que je commencerai.


On pose cos(t)=x -> donnera du arctan.


Fonction impaire + bornes -> immédiat




En regarde les bornes aussi, e,1 comme bornes et du ln -> on pose x=ln(t)



On pose x=cos(t) ou sin(t)


On doit pouvoir poser x=sin(t) ou IPP en dérivant arcsin(x)

Pareil on doit s'en sortir avec le ch.de var. précédent.

On pose

x=cos(t) ou sin(t)

Pour les intégrales on regarde les bornes avec des angles ou des nombres comme on pense clairement aux fonctions trigo.

• Pour les fonctions du type :
  on pose toujours x = sin(t) ou cos(t) car on se base sur la relation :
  
  
  
  
• Pour les fonctions du type :
  On pose x=sh(t)
  On se base sur la relation :
  
  
  
• Et enfin :
  On pose x=ch(t)

[invite263d7f23]

Oui mais même en posant t=sinx, on se retrouve avec l'intégrale de cos²x, soit: 1/2(sin(2x)/2 + x)... primitive de sqrt(1-t²) ?!?

[invite8d322e93]

Tu fais ton changement de variable trop rapidement, les bornes changent elles aussi, mais oui il y a des fonctions trigos dans l'intégrale de mémoire, dont on doit pouvoir se débarasser en utilisant leurs expressions logarithmiques.

[Seirios]

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[TEX]On pose , d'où

[invite263d7f23]

Bon sinon, la primitive de sin(t)/(1+cos²(t)):

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on pose u=cos(t), du= -sin(t)dt
on a donc l'intégrale de -1/(1+u²) (du).... on pose u=tany, du=tan²y + 1 dy...
Au final, on a l'intégrale de -1 (dy), soit -y ... Or, -y=-arctan(u)=-arctan(cos(t)) ...

Apparemment, pour primitiver sqrt(1-t²), on devrait pouvoir faire de la même manière, mais j'obtiens comme primitive: sin(2arcsin(t))/4 + arcsin(t)/2 ... alors qu'internet me dit que c'est: 1/2(t.sqrt(1-t²) + arcsin(t)) ...
ça veut dire que: sin(2arcsin(t))/2 = t.sqrt(1-t²) ?!

[invite8d322e93]

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[TEX]On pose , d'où

La fonction est impaire, donc l'intégrale est nulle. Des bornes symétriques dans une intégrale ça doit déclencher un réfex
D'ailleurs, vous pouvez pour entrainement démontrer que l'intégrale en -a et a d'une fonction impaire est nulle (c'est simple, pas d'inquiétude).

[Seirios]

fonction est impaire, donc l'intégrale est nulle. Des bornes symétriques dans une intégrale ça doit déclencher un réfex

Effectivement, je ne l'avais pas remarqué...Et puis il y a une énorme erreur dans mon calcul

[invite787dfb08]

Quantité de bons posts la dedans

Merci pour ces nouveaux exos !

Je m'y mettrait sérieusement au mois d'aout...

+++

[invite263d7f23]

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intg t^9/(1+t^5)dt = intg t^4 (t^5/(1+t^5))dt
= intg t^4 (1 - 1/(1+t^5)) dt
= intg t^4 - t^4/(1+t^5) dt
= 1/5( t^5 - ln(1+t^5))
Donc de 0 à 1, ça doit faire: 1/5(1 - ln2).

[invite263d7f23]

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On remarque que: lntg(t^6 - 1)= lntg(t^3 + 1) + lntg(t^3 - 1).
On fait une IPP pour les 2 intégrales qu'on obtient. Ce qui est pratique, c'est que les intégrales résultantes de l'IPP sont comme celle de mon post ci-dessus, donc il suffit de faire pareil.
Une primitive est donc: 1/3[(ln(t^6-1) -2)t^3 + ln(1+t^3) - ln(t^3 - 1)]

[invite263d7f23]

Est-ce qu'il faut lire:
1/ intégrale de 1/[t²sqrt(t)(t+1)] (ce que je vois à l'oeil nu) ?
2/ intégrale de 1/[(t+1)sqrt(t)] (ce que je vois dans le latex) ?
3/ autre chose: ... ?

1/

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On fait deux décompositions en éléments simples pour obtenir l'intégrale de:
1/[t²sqrt(t)] - 1/[tsqrt(t)] + 1/[sqrt(t)(t+1)].
On remarque pour l'intégrale de 1/[sqrt(t)(t+1)], qu'en posant t=u², dt=2udu, on obtient l'intégrale de 2/(u²+1), dont la primitive est 2arctan(u).
La primitive de 1/[sqrt(t)(t+1)] est donc 2arctan(sqrt(t)).
Les deux autres intégrales sont facilement primitivables.

2/

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cf. 1/

[invite8d322e93]

Ce que tu vois dans latex, je comprends pas pourquoi il me fait ça, ma formule a l'air juste..

[invite263d7f23]

Tiens, sinon j'ai enfin réussi à primitiver correctement sqrt(1-t²) et t*sqrt(1-t²):

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Pour Sqrt(1-t²), on multiplie en haut et en bas par lui-même, ce qui donne (1-t²)/(sqrt(1-t²)) ... Puis là en fait, faut avoir le déclic en fait que la dérivée de est ... Donc, on factorise (1-t²)/sqrt(1-t²) par 1/2, ce qui donne en fin de compte:

La première intégrale est égale à , et la deuxième est égale à ...
Pour t*sqrt(1-t²), grosso modo, c'est le meme principe, mais avec des puissances différentes au dessus des t...

Vive l'auto-réponse

[invite8d322e93]

Tout le monde dort ?

[FonKy-]

Tout le monde dort ?

Je dirais:

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Et apres on fait une décomposition en element simple =)

etc.

etc.



Ps: honnêtement je ne dors jamais

[invite263d7f23]

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Il a raison.

[invite787dfb08]

(Je rentre de vacances...)

Ouuu mais le FonKy nous fait un retour sérieux

Merci pour les nouveaux posts

+++

[invite263d7f23]

Bon, celle-là est difficile, je livre donc mon ébauche de réponse non-finie:

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On pose x=cos(u), on obtient quelque chose de beau, on pose t=tan(u/2)... et là, on a "-1/2" fois l'intégrale de 1/(t² + t + 1)...
On factorise grâce aux racines complexes j1 et j2. On fait une décomposition en éléments simples, et puis comme l'intégrale de 1/(t - j) [avec j un complexe de la forme a + ib] est égale à: ln|t - j| + iarctan((t-a)/b). On a finalement:
(arctan a eu le bon goût d'être impaire)

Après j'ai essayé de me lancer dans la simplification du logarithme du module... Je n'ai jamais fini. Et bien sûr, l'intégrateur sur le net n'est pas d'accord avec moi.

[invitec317278e]

J'aurais plutôt vu un changement x=sin(t) plutot que x=cos(t)....j'essaie.

[invite263d7f23]

J'aurais plutôt vu un changement x=sin(t) plutot que x=cos(t)....j'essaie.

le résultat qu'on trouve reste quand même douteux...

[invitec317278e]

Effectivement.
Enfin de toute façon, à partir du moment où l'on arrive à 1/(t²+t+1), ça n'a plus grand intérêt, sinon le plaisir de faire du calcul barbare

[Flyingsquirrel]

Hello

Bon, celle-là est difficile, je livre donc mon ébauche de réponse non-finie:

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On pose x=cos(u), on obtient quelque chose de beau, on pose t=tan(u/2)... et là, on a "-1/2" fois l'intégrale de 1/(t² + t + 1)...
On factorise grâce aux racines complexes j1 et j2. On fait une décomposition en éléments simples, et puis comme l'intégrale de 1/(t - j) [avec j un complexe de la forme a + ib] est égale à: ln|t - j| + iarctan((t-a)/b). On a finalement:
(arctan a eu le bon goût d'être impaire)

Après j'ai essayé de me lancer dans la simplification du logarithme du module... Je n'ai jamais fini. Et bien sûr, l'intégrateur sur le net n'est pas d'accord avec moi.

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Pour trouver les primitives de on peut aussi faire apparaître une forme qui s'intègre en arctan :

ce qui nous permet d'écrire

ensuite on pose et on obtient ce que l'on voulait. Il me semble que j'avais déjà posté une méthode similaire dans les première pages de ce fil.


(je précise que j'ai la flemme de vérifier si le changement de variable que tu as fait doit donner le résultat que tu trouves )

[invite425270e0]

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On pose x=cos(u), on obtient quelque chose de beau, on pose t=tan(u/2)... et là, on a "-1/2" fois l'intégrale de 1/(t² + t + 1)...
On factorise grâce aux racines complexes j1 et j2. On fait une décomposition en éléments simples, et puis comme l'intégrale de 1/(t - j) [avec j un complexe de la forme a + ib] est égale à: ln|t - j| + iarctan((t-a)/b). On a finalement:
(arctan a eu le bon goût d'être impaire)

Après j'ai essayé de me lancer dans la simplification du logarithme du module... Je n'ai jamais fini. Et bien sûr, l'intégrateur sur le net n'est pas d'accord avec moi.

Plop, alors sauf erreur de ma part, en posant x=cos u et en remplaçant, je trouve

[invite425270e0]

Et après j'arrive pas à suivre dans le changement de variable, tu peux détailler stp :s ?

[invite787dfb08]

En voila une sympa



+++

[invite263d7f23]

Et après j'arrive pas à suivre dans le changement de variable, tu peux détailler stp :s ?

Décidément, cette intégrale, elle pose problème, je l'ai refait avec la méthode de l'écureuil volant à la fin, donc j'ai fait:

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On fait x=cos(u), on trouve ce que tu trouves.
Puis, le seul changement de variable qui semble viable ensuite est t=tan(u/2) soit dt=1/2(tan²(u/2) + 1). Et là, on obtient:
... On factorise pour avoir la dérivée d'un arctan, changement de variable pour avoir la forme "1/(1+u²), et paf ! Ca permet certes de calculer la valeur de l'intégrale sur certaines bornes mais, la primitive qu'on obtient est un truc horrible:

Et ça, ça me rend triste.