[TS+] Intégrales sympas

[invitec1242683]

Calculer :
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[invite951d3e73]

Elle vient de la parodie de colle de maths celle là

[invite787dfb08]

Plop

Petite question sur les décompositions en éléments simples qui ont déjà été abordés...

Un fonction rationnelle en générale (parceque j'arrive certains cas particuliers, mais bon...), pour la décomposer en somme d'éléments simples, on factorise au max le dénominateur ensuite on sépare ? Mais comment choisir les degrés des polynômes des différents numérateurs, obligatoirement inférieur de 1 à ceux des dénominateurs...

Si quelqu'un à un cours sympa à me filer avec quelques exemples, merci beacoup

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[invitec1242683]

Ce n'est que l'intégrale d'euler aussi mdr !!

[invitec1242683]

enfin presque .... La borne inférieure est à 0 tandis que l'intégrale d'euler est impropre : de -l'infini à + l'infini

[Flyingsquirrel]

Décidément, cette intégrale, elle pose problème, je l'ai refait avec la méthode de l'écureuil volant à la fin, donc j'ai fait:

 Cliquez pour afficher

On fait x=cos(u), on trouve ce que tu trouves.
Puis, le seul changement de variable qui semble viable ensuite est t=tan(u/2) soit dt=1/2(tan²(u/2) + 1). Et là, on obtient:
... On factorise pour avoir la dérivée d'un arctan, changement de variable pour avoir la forme "1/(1+u²), et paf ! Ca permet certes de calculer la valeur de l'intégrale sur certaines bornes mais, la primitive qu'on obtient est un truc horrible:

Et ça, ça me rend triste.

On peut arranger un peu l'expression de la solution :

On a

soit .

Or et donc . (si quelqu'un a une démo plus rapide de ce résultat, je prends )

Du coup on obtient comme solution

 Cliquez pour afficher

en exprimant avec la formule précédente.

ce qui est un peu plus sympathique.

[invite787dfb08]

On peut dire que le post de Flyingsquirrel est un post....... satanique

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[invitea250c65c]

En voila une sympa



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 Cliquez pour afficher

Je trouve (confirmé par ma calculatrice) mais je pense être passé à côté de quelque chose parce que je me suis amusé à calculer et , c'était assez barbare comme calcul et au final une fraction rationnelle et des arctangentes se simplifient ... je pense donc être passé à côté d'une méthode plus élégante et plus simple

[invite787dfb08]

Il y a une méthode "simple" et élégante oui...

Mais faut reconnaitre qu'elle est difficile à voir, je ne l'aurais pas trouvé tout seul...

[invite787dfb08]

Je poste la solution :

 Cliquez pour afficher

=
=
=

Reste à traiter le second terme par ipp et sa va tout se simplifier

Cela dit c'est un prof de maths qui me la donnée, elle est très tendue....

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[invite263d7f23]

On peut arranger un peu l'expression de la solution :

On a

soit .

Or et (???? il manquerait pas un 2 dans le cosinus : 2cos²x=1+cos2x) donc . (si quelqu'un a une démo plus rapide de ce résultat, je prends )

Du coup on obtient comme solution

 Cliquez pour afficher

en exprimant avec la formule précédente.

ce qui est un peu plus sympathique.

hmm...sinon, j'ai pas compris grand chose, est-ce qu'on pourrait avoir une explication détaillée ?

[Flyingsquirrel]

hmm...sinon, j'ai pas compris grand chose, est-ce qu'on pourrait avoir une explication détaillée ?

OK, je reprends ce que j'ai fait en détaillant :


Formule de trigo : . Si on l'applique avec , cela donne

dont on tire

On remplace dans le membre de droite par et par :

Autre formule de trigo : . Si on l'applique avec , on obtient . En remplaçant par dans la formule précédente et en isolant , on obtient . On utilise cela pour simplifier (1) :

On pourrait s'arrêter là et exprimer le sinus en fonction du cosinus. On peut aussi obtenir une autre forme de cette identité en multipliant le membre de droite par :

Maintenant on exprime le sinus en fonction du cosinus : donc .

 Cliquez pour afficher

Avec la formule précédente, et on peut écrire les solutions sous la forme

[invitec317278e]

J'ai trouvé un peu plus simple :

tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=(-2*sin(-x/2)*sin(x/2))/(2*sin(x/2)cos(x/2))=(cos(0)-cos(x))/(sin(x))
Et on retombe vite sur ton égalité.

Thorin.

[Flyingsquirrel]

J'ai trouvé un peu plus simple :

tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=(-2*sin(-x/2)*sin(x/2))/(2*sin(x/2)cos(x/2))=(cos(0)-cos(x))/(sin(x))
Et on retombe vite sur ton égalité.

C'est effectivement bien plus simple que ma méthode.

[invitec317278e]

Par contre, le soir, jai trop la flemme du latex, alors c'est bien moche

[Seirios]

Calculer :

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La fonction étant paire, on peut traiter l'intégrale par l'intégrale d'Euler :

On pourrait également traiter l'intégrale avec la fonction d'erreur erf(x), mais il faudrait connaître sa limite en l'infini ; est-ce qu'on a ?

[invitec1242683]

mais comment calcules tu l'intégrale d'eULER ?

[invitec317278e]

on peut se la faire avec une intégrale double mais...ce n'est certainement pas niveau TS !

[Guillaume69]

De toute façon, le niveau TS a été laaaargement dépassé depuis longtemps sur ce fil non ?

[invitec317278e]

Mwoui, pas faux^^
Dans ce cas, je vais écrire la solution en latex, pour l'intégrale d'Euler.

[invitec317278e]

On passe ensuite à la racine carrée.

2-3 explications sur le calcul, peut être, quand même...
le passage du produit de l'intégrale simple à l'intégrale double est permis car les fonctions sous les intégrales sont à une variable.
On passe de dx*dy à p*dp*d(theta) en changeant de coordonnées, on passe de cartésiennes à polaires, donc x²+y²=p²...

En priant pour ne pas avoir fait d'erreurs.

Avec gentillesse et divinité,

Thorin.

[invitec1242683]

Voila!! hehe

[Guillaume69]

J'en propose une, qui sera peut-être trop facile pour vous.
Calculer

Une indication :

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changement de variable :

[invitec1242683]

hehe pas mal du tout celle la

[Seirios]

On passe ensuite à la racine carrée.

Je ne comprends pas pourquoi, en passant aux coordonnées polaires, une des bornes devient ...Une explication ?

[FonKy-]

j'aurai plutot mis 2Pi.

[invitec317278e]

x et y vont tous les 2 de 0 à l'infini, donc la surface couverte est le coin nord-est du plan, ie quand theta va de 0 à pi/2.

Plus formellement.

0<x
0<y

<==>

0<r*cos(theta)
0<r*sin(theta)

<==>

0<r²(cos²+sin²) = r²
0<cos/sin=tan(theta)

etc...

[Seirios]

D'accord, merci Thorin

[FonKy-]

x et y vont tous les 2 de 0 à l'infini, donc la surface couverte est le coin nord-est du plan, ie quand theta va de 0 à pi/2.

évidement si x et y vont de 0 à l'infini

[invite425270e0]

On passe de dx*dy à p*dp*d(theta) en changeant de coordonnées

Tu peux juste expliquer ça stp?