[TS+] Intégrales sympas

[inviteec581d0f]

Okaaay =) Merci !!!!

il y en a d'autres comme çà qu'il faut absolument connaître ?

=)
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[GalaxieA440]

il y en a d'autres comme çà qu'il faut absolument connaître ?

=)

Si tu parles des réciproques de fonctions circulaires, hyperbolique, etc... il ne faut pas les connaître absolument, surtout que dans un exo on considère que tu ne les connais pas, donc on attend autre chose... c'est pas toujours plus simple mais bon, chaque chose en son temps

[inviteec581d0f]

Si tu parles des réciproques de fonctions circulaires, hyperbolique, etc... il ne faut pas les connaître absolument, surtout que dans un exo on considère que tu ne les connais pas, donc on attend autre chose... c'est pas toujours plus simple mais bon, chaque chose en son temps

D'accord =)

Merci en tout cas

tu as d'autres intégrales ? Pour ma part je vais en chercher et poster çà dès que je peux ^^

[GalaxieA440]

J'ai un très bel exo d'application si tu veux, qui utilises les intégrales :

Montrer que diverge....
Avec n naturel positif...

Indice

 Cliquez pour afficher

Montrer que la fonction f(x) = 1/x est décroissante sur R+

[Seth.]

C'est vrai que c'est un bel exo ça!
Mais je sais pas si c'est faisable en terminale, ça demande pas mal d'idées il me semble... Mais bon il suffit d'avoir la bonne et c'est bon!

[inviteec581d0f]

Oh ! Je ne vois pas comment démontrer la divergence c'est quoi le lien avec la décroissance de 1/x ? xD >.<

[inviteec581d0f]

En posant

je démontre que



ce qui est positif donc croissante

mais attends je cherche pour le reste >.<

[GalaxieA440]

si tu montres que la fonction que je donne est décroissante (tin ya un moinneau qui vient de s'écraser sur ma vitre ^^), tu va pouvoir encadrer la suite par deux belles intégrales, mais c'est vrai que c'est technique ... Raisonne en terme d'aire. Si tu n'y arrive vraiment pas, je posterai la correction...

[Seth.]

Il faut que tu arrives à minorer la somme par quelquechose dont tu sais que ça diverge à l'infini.

Un dessin avec la courbe y=1/x et des rectangles de surface 1/i peuvent etre tres utiles...

[inviteec581d0f]

Je n'ai pas compris comment faire


J'ai essayé avec le point fixe etc.. mais je n'ai rien trouvé

[GalaxieA440]

je post la correction dans quelques minutes

[inviteec581d0f]

je post la correction dans quelques minutes

D'accord mercii !!

pour ma part je vais finir ma philo -_-' et je reviens

[GalaxieA440]

Montrer que diverge....
Avec n naturel positif...

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la fonction 1/t est décroissante sur R+...

Donc,

t est variable, k est fixé...
Ca signifie que l'aire de k à k+1 sous la courbe représentative de la fonction 1/t est inférieur à celle du rectangle de k à k+1 délimité par la droite d'aquation y = 1/k (fais un schéma ça aide beaucoup... ce passage est assez embrouillant à cause des notations....)

tu obtiens :



Donc, partant de ça, tu fais varier k de 1 à n :



et tu termines par Chasles :



et donc :



ce qui conclut pour la limite en + l'infini, par comparaison....

perfect n'est - il pas ?

[inviteec581d0f]

J'ajouterais : Magnifique !!!

Vraiment super =)

je laisse tomber la philosophie et j'essaye de refaire cet exo !!

Merciiiiiiiii

[GalaxieA440]

une fois que tu le géreras, tu pourras essayer avec d'autres sommes, c'est une méthode super à connaître

[inviteec581d0f]

Okay c'est bon j'ai refais çà et c'est vraiment bien comme méthode !!

çà marche pareil pour n'importe quelle somme ?

[GalaxieA440]

tant que ta fonction est monotone, tu peux la comparer comme ça à une intégrale. Après c'est pas toujours gagné parce qu'il faut que la limite soit calculable (donc que la primitive ne soit pas non plus trop balèze).

Si tu veux je l'ai fait (avec l'aide de FS aussi ) pour :



Alors au programme : une intégrale de compète et après un bon cassage de crâne pour la limite en + l'inf, mais oublie pas de finir ta philo

[inviteec581d0f]

lol

je m'intéresse beaucoup plus aux maths =) mais tu as raison je ne vais pas négliger la philo =)

Je fais cet exo tout d'abord



le i c'est le x non ?

Il faut montrer qu'elle diverge c'est bien çà ? =)

D'accord ^^ héhé

je me lance :P

[GalaxieA440]

uep pardon pour les fautes d'écriture

par contre m'en veux pas mais je mettrai pas la correction ce soir sur FS en latex, je la scannerai et je te l'enverrai...

Bonne chance

[inviteec581d0f]

D'accord tkt pas mon ami

[GalaxieA440]

Une petite dernière pour moi ce soir



indice, seulement si ça coince vraiment...

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intégration par partie, en ne posant pas u' = x Bon d'accord dans mon bouquin ya des étapes, mais bon on peut faire sans, largement...

[Seth.]

 Cliquez pour afficher

Par changement de variable puis par IPP
j'arrive à :

Je ne donne pas la valeur exacte qui est horrible!

[GalaxieA440]

plop

c'est faisable sans changement de variable , et je trouve quelque chose de beacoup moins moche que ça ...

[Seth.]

Le principal c'est de l'avoir !

Tu en a d'autres sous la main... ?

[GalaxieA440]

Plop

en fait tu as raison, je m'était trompé, le résultat sans changement de variable donne aussi quelque chose de très moche .

Pour pouvoir intégrer sans changement de variable, il faut remarquer quelque chose de pas du tout évident... C'est vrai qu'ensuite le résultat est terrible...

 Cliquez pour afficher

[GalaxieA440]

Okay c'est bon j'ai refais çà et c'est vraiment bien comme méthode !!

çà marche pareil pour n'importe quelle somme ?

En fait, non ça ne marche pas avec toutes les sommes. Pour pouvoir conclure sur la limite de la somme, il faut pouvoir la comparer à une suite qui diverge, ou alors réussir à utiliser le théorème des gendarmes (l'encadrement cependant est très facile...). Donc ça ne marche pas tout le temps, mais c'est une méthode belle et très puissante, pour l'exemple que j'ai donné par exemple, c'est perfect....

[Flyingsquirrel]

Nouvelle intégrale : (elle a l'air plus méchante qu'elle ne l'est réellement )

Concernant l'utilisation des intégrales pour encadrer des somme, ça permet notamment de trouver un équivalent* de en l'infini. (mais on est un peu HS là )
(*=une suite telle que )

[inviteec581d0f]

Salut Flyingsquirrel,

ne pouvant pas résister à l'intégrale je réponds *O*

Bon une intégrale de ln(x) est xln(x) - x + C

j'ai essayé de poser (1+tan(x)) = x

et je tombe sur :

dérivée de (1+tan(x))(ln(1+tan(x)) - (1+tan(x)) = tan'(x)ln(1+tan(x))

suis je sur la bonne voie ?

[Flyingsquirrel]

Je ne pense pas

Il y a au moins deux méthodes :

Indice pour la première :

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faire un changement de variable (les bornes de l'intégrale n'ont pas été choisies au hasard)

Indice pour la deuxième :

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utiliser

[inviteec581d0f]

En utilisant la deuxième je tombe sur :




donc


C'est bon ? je continue de chercher