[TS+] Intégrales sympas

[bubulle_01]

D'après integrator, elle est exprimée en fonction de polylogarithmes complexes ... Donc à notre niveau d'études, on va se contenter d'une interrogation ^^
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[inviteec581d0f]

D'après integrator, elle est exprimée en fonction de polylogarithmes complexes ... Donc à notre niveau d'études, on va se contenter d'une interrogation ^^

mdrr il devrait y avoir une méthode c'est sûr >.<

tu n'as pas essayé de calculer à la main ? perso je tourne en rond, depuis mon cours de philo

[Flyingsquirrel]

D'après integrator, elle est exprimée en fonction de polylogarithmes complexes ... Donc à notre niveau d'études, on va se contenter d'une interrogation ^^

C'est ce qui me fait douter de mon résultat : j'arrive à un truc assez moche mais sans polylogarithme . Méthode : IPP (on fait apparaître ) puis changement de variable :

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Je vérifierai mes calculs demain et, si il y a besoin, je détaillerai la méthode si elle et correcte.

[bubulle_01]

J'ai celle là, faisant intervenir un peu de trigo :
avec

[invite787dfb08]

Ploup

mettez bien vos réponses entre SPOILER svp pour ceux qui font les exos en décalé (comme moi en ce moment...)

Merci +++

[invitec053041c]

Au passage, pour ceux que ça intrigue :



Donc

Qui a pour nom l'intégrale de Gauss (pour ceux que ça intéresse un peu plus).

(Ca n'a pas sa place dans cette section, mais au diable les chichis ).

[invitec053041c]

Je vous soumets celle-ci:


(ne nécéssite pas la règle de Bioche, juste les connaissances de Terminale, et un bon oeil ).

[inviteec581d0f]

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je ne sais pas ce qu'est la règle de bioche mais en linéarisant,




et en intégrant



et ya plus qu'à remplacer t par tan(x/2)

enfin je ne sais pas si c'est rigoureux mais je trouve çà

[invitec053041c]

[spoil]Oui, poser u=tan(t/2) est une manière de faire, je regarde ton calcul.[/spoil]

[bubulle_01]

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Soit
Soit

On retrouve alors les formes U'/U, facilement intégrables.

[invitec053041c]

En réalité je ne suis pas d'accord avec toi Gaara, enfin je n'ai pas l'impression que tu aies changé la différentielle dx en dt, de manière convenable.
C'est une méthode aussi bubulle , je propose la mienne:

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Or, tan(t/2)'=1/(2.cos²(t/2)), on reconnaît donc une intégrale de la forme U'/U, avec U=tan(t/2)=sin(t/2)/cos(t/2), donc:

.

[invitec053041c]

Voici ce que tu as voulu faire Gaara:

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.Tu as posé t=tan(x/2), tu as donc sin(x)=2t/(1+t²) comme tu l'as dit, et:

dt=1/2(1+tan(x/2)²)dx=1/2(1+t²)dx, donc dx=2dt/(1+t²), et ainsi:



(ouf ).

[inviteec581d0f]

C'est en gros le résultat que j'ai sur ma feuille ^^ je ne maîtrise pas encore le truc des changements de variable mais je sens que çà arrive !!!


Merci

[invitea250c65c]

Salut,

J'ai celle là, faisant intervenir un peu de trigo :
avec

Pour celle ci bubbule_01, comme personne ne s'est penché dessus, je dirais :

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Modifier un peu l'écriture de la fraction puis penser à dériver la fonction ...

Après peut être qu'on peut le faire d'une autre facon mais moi je le ferais plutôt comme ca

A+

[inviteec581d0f]

J'étais justement en train de la faire mais je n'ai pas aboutit, enfin elle est un peu ardue faut avouer

[invitec053041c]

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Pas de difficulté si on connaît la dérivée d'arctan..

[invitea250c65c]

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C'était bien ca mon idée merci bien pour la confirmation

[bubulle_01]

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Je viens de découvrir que !
Désolé si vous l'avez trouvé facile, mais je fais de mon mieux pour imaginer des intégrales à peu près potables ^^

J'ai ca sinon :

[Flyingsquirrel]

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Je propose

[invite787dfb08]

La solution de Bubulle est terrible !!

[inviteec581d0f]

Pour celle de Flyingsquirrel

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Décomposition en éléments simples non ?

[invitebe13a34d]

Une classique:

[inviteec581d0f]

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en primitivant,





donc

[invite787dfb08]

[SPOILER]

Une piste pour moi

[Flyingsquirrel]

Pour celle de Flyingsquirrel

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Décomposition en éléments simples non ?

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Oui

Une piste pour moi

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Il faut décomposer la fraction en éléments simples. (je peux détailler si tu ne sais pas ce que c'est, en général on voit ça après le bac)

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donc

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donc si on dérive on retrouve ?

[inviteec581d0f]

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donc si on dérive on retrouve ?

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aaah une boulette mdrrrr je voulais mettre sorry !!!!

mdr ! il vaut mieux pour moi que j'apprenne à me relire

[inviteec581d0f]

EDIT

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en primitivant,





donc



Big Up à Flyingsquirrel

[invite787dfb08]

Ah yes, je ne sais pas comment détailler la fraction en éléments simples, donc je veux bien voir comment tu fais...

Merciiiiii

[Flyingsquirrel]

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donc

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Ah yes, je ne sais pas comment détailler la fraction en éléments simples, donc je veux bien voir comment tu fais...

Et les spoilers

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Pour décomposer la fraction en éléments simples, il faut factoriser le dénominateur. Ici, on remarque que : -1 est une racine du dénominateur et va donc s'écrire sous la forme . Il reste à déterminer les coefficients , et du polynôme de degré 2. Pour ça, on développe :



On identifie terme à terme avec (deux polynômes sont égaux ssi tous leurs coefficients le sont) :



On obtient . Le polynôme n'admet pas de racine réelle (), on ne peut pas factoriser davantage, on passe alors à la décomposition en éléments simples :



Pour identifier les trois coefficients, on met les deux fractions de la somme au même dénominateur :



soit



Les deux fractions ont le même dénominateur, elles sont donc égales ssi leurs numérateurs sont égaux c'est à dire ssi



Aux erreurs de calcul près, on a montré que

Maintenant, il n'y a plus qu'à intégrer ça.

Note : pour l'identification des coefficients lors de la décomposition en éléments simples il y a au moins une autre méthode mais je pense que ça compliquerait trop de l'expliquer ici.

[inviteec581d0f]

Flyingsquirrel

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J'ai encore oublié un truc looooool xD