[TS+] Intégrales sympas

[GalaxieA440]

et les spoilers

Ouuuu moun diou je les ai oubliés

Ok merci pour la méthode, je comprend bien l'idée, mais le truc me semble un peu tendu. Je lirai un cours la dessus (merci Garaa)

++
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[God's Breath]

Il y a plus simple :

Posons et

On montre par chgt de variable que

Ensuite on a I + J = b-a et donc I = J = (b-a)/2

Chez moi, le changement de variable conduit à qui est, sauf valeurs particulières de et , différent de .

[GalaxieA440]

Hello

J'ai une petite question concernant :



Sans passer par la réponse habituelle :

 Cliquez pour afficher

arctan(x)

Le calcul que je fait est-il juste ?



On cherche ici simplement à trouver les a et b permettant de décomposer la fraction en deux fractions avec au dénominateur des polynômes de degré 1 (bon vu le delta de x²+1, on se doute bien qu'il va y avoir des complexes)...

Par identification on a :





et donc

d'où :

C'est juste cette primitive

+++

[Flyingsquirrel]

C'est juste cette primitive

Non, la décomposition en éléments simples est fausse : la décomposition en éléments simples d'une fraction de la forme où les sont deux à deux distincts est où il reste à déterminer les .
Dans ton cas, et sont les deux racines de donc .

Pour l'intégration de , je ne sais pas faire. Il semble que (sans module ) Le log qu'on manipule ici est une application d'une variable complexe : et je n'ai aucune connaissance sur ce sujet.

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Sinon, pour vérifier ta réponse, on peut essayer d'exprimer en fonction d'un log :

On part de et on cherche à exprimer sous la forme , la fonction correspondra alors à



On obtient :



En prenant le log (dans quel cas est-ce légal ?) on a . Tu devrais retomber sur ce résultat en intégrant.

[GalaxieA440]

où il reste à déterminer les .

Okkkkk

Je comprend alors la décomposition en élément simple Je lirai un cours la dessus...

En tout cas je te remercie pour la réponse

+++

[invitec053041c]

d'où :

C'est juste cette primitive

On peut définir le log complexe, mais avec beaucoup beaucoup de précautions, on le voit assez loin si l'on est étudiant en maths (je dirais licence, maîtrise au bas mot..).
Par exemple, exp(i0)=exp(i.2pi), un passage abusif au log complexe donnerait 0=2pi..

Tout ça pour dire qu'il vaut mieux éviter, même bannir, d'écrire un log complexe, tant qu'on n'en a pas vu un peu plus .

[invitec053041c]

Au passage, si on veut une primitive de avec i complexe, on écrit:



Cordialement.

[Flyingsquirrel]

Je propose

Proposition de solution :

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Au message #149, on a montré que



l'intégrale de départ devient alors :



Pour l'intégrale restante, on fait apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur (quitte à se retrouver avec une deuxième intégrale) :



Reste à traiter . La présence d'un polynôme de degré deux au dénominateur nous incite à faire apparaître une forme que l'on pourra intégrer en . (on ne peut pas faire ça avec n'importe quel trinôme mais là, ça marche) Pour obtenir le terme , on identifie les deux premiers termes du dénominateur, , avec le début du développement d'un carré de la forme : .

On réécris en additionnant et en soustrayant le terme : .

À ce stade, on a : il ne nous reste plus qu'à faire apparaître le 1 à la place du pour avoir la forme voulue.



On peut poser



En conclusion :

[invite85d09bae]

Juste un truc (on vient juste de prendre les intégrales) : vous calculez les intégrales de quoi vers quoi? (a=? et b=?)

[invite85d09bae]

ah non c'est bon merci, vous calculez juste les primitives.

C'est normal d'avoir une primitive si compliquée pour une fonction plutôt "simple", Flyingsquirrel? n'y a-t-il pas une autre solution plus simple?

[Flyingsquirrel]

C'est normal d'avoir une primitive si compliquée pour une fonction plutôt "simple", Flyingsquirrel? n'y a-t-il pas une autre solution plus simple?

Oui, c'est normal... mais ça pourrait être pire : par exemple, si Ledescat avait demandé de calculer au lieu de on n'aurait pas pu répondre car il est impossible d'exprimer cette primitive à partir des fonctions usuelles... Le calcul de primitives peut vite devenir compliqué, même si les fonctions ont l'air "simple".

Quant à l'existence d'une "autre" solution, elle devrait être égale à celle que j'ai donnée... et je ne vois pas trop comment simplifier le résultat.

[inviteec581d0f]

Wow Flyingsquirrel !! vraiment chapeau

[GalaxieA440]

ouais j'suis d'accord !!!!

[Flyingsquirrel]

Wow Flyingsquirrel !! vraiment chapeau

ouais j'suis d'accord !!!!

Ces compliments seraient mérités si j'étais en terminale mais ça fait quelques temps que ce n'est plus le cas. Vous verrez sûrement, l'année prochaine, (re-) que la méthode que j'ai utilisée est en fait assez classique.

Edit : si je propose des primitives trop compliquées, n'hésitez surtout pas à le dire...

[invitec053041c]

Oui, c'est normal... mais ça pourrait être pire : par exemple, si Ledescat avait demandé de calculer au lieu de on n'aurait pas pu répondre car il est impossible d'exprimer cette primitive à partir des fonctions usuelles... Le calcul de primitives peut vite devenir compliqué, même si les fonctions ont l'air "simple".

Quant à l'existence d'une "autre" solution, elle devrait être égale à celle que j'ai donnée... et je ne vois pas trop comment simplifier le résultat.

Oui, exact.
C'est d'ailleurs dans ce genre de cas (où l'on ne peux exprimer de primitive grâce aux fonctions usuelles), que l'on fait naître une nouvelle fonction .
Une primitive de exp(-x²) est appelée erf(x), pour "error fonction".
Pour être plus exact:


De la même manière, on introduit d'autres nouvelles fonctions comme la fonction "sinus intégral", primitive du sinus cardinal (sin(t)/t).

etc...

[invite85d09bae]

Oui, c'est normal... mais ça pourrait être pire : par exemple, si Ledescat avait demandé de calculer au lieu de on n'aurait pas pu répondre car il est impossible d'exprimer cette primitive à partir des fonctions usuelles... Le calcul de primitives peut vite devenir compliqué, même si les fonctions ont l'air "simple".

Quant à l'existence d'une "autre" solution, elle devrait être égale à celle que j'ai donnée... et je ne vois pas trop comment simplifier le résultat.

J'ai pas compris ta remarque concernant et . Comment on calcule des intégrales avec +infini et -l'infini aux bornes et en quoi c'est impossible de calculer vu que ça a l'air possible de calculer ??

J'ai pas vraiment compris ton post

Merci d'éclaire un pov' term complètement perdu

[invitec053041c]

J'ai pas compris ta remarque concernant et . Comment on calcule des intégrales avec +infini et -l'infini aux bornes et en quoi c'est "moins" compliqué qu'en calculant .

Merci d'éclaire un pov' term complètement perdu

Ca relève de l'intégrabilité sur un non segment, c'est déjà plus compliqué.

Mais pour faire simple (et juste):



Cette limite n'est pas trouvable par un calcul de primitive de exp(-t²), mais par des ruses et autres astuces (voir 2 pages avant je crois).
Mais dans d'autres cas, on est capable de trouver ce genre de limites grâce à un calcul de primitives.

[invitec053041c]

Par exemple:



Peut se trouver par un calcul de primitive:

[invite85d09bae]

Merci!

En l'occurrence, içi, l'astuce était...?? ( moi?! mais si j'ai déjà cherché! )

EDIT : Ah, j'ai lu ton post! attends!!! ne dis rien!!! je vais l'avoir pour exp!!

[inviteec581d0f]

Oui, exact.
C'est d'ailleurs dans ce genre de cas (où l'on ne peux exprimer de primitive grâce aux fonctions usuelles), que l'on fait naître une nouvelle fonction .
Une primitive de exp(-x²) est appelée erf(x), pour "error fonction".
Pour être plus exact:


De la même manière, on introduit d'autres nouvelles fonctions comme la fonction "sinus intégral", primitive du sinus cardinal (sin(t)/t).

etc...

lol Ledescat ! je ne dirais plus erf de la même façon maintenant !

[invitec053041c]

Merci!

En l'occurrence, içi, l'astuce était...?? ( moi?! mais si j'ai déjà cherché! )

EDIT : Ah, j'ai lu ton post! attends!!! ne dis rien!!! je vais l'avoir pour exp!!

Disons que c'est une astuce de maths du supérieur quand même (et j'avoue l'avoir fait un peu à la physicienne , pourvu que Médiat ne voie pas ça !).
Donc ça te paraître un peu difficile..

Il arrive qu'en maths, on sache quantifier le tout avec des expressions usuelles, alors que la partie ne peut l'être.
On peut ainsi trouver l'aire sous la courbe de exp(-x²) sur IR, mais pas sur une partie e IR.
(j'entends bien avec des expressions "usuelles", et des nombres "connus").

lol Ledescat ! je ne dirais plus erf de la même façon maintenant

Oui, c'est un nom étrange, encore un coup des anglais !

[invite85d09bae]

Bon, fait péter le résultat, je trouve pas, et je pense pas que je vais trouver. Ca sera au moins la correction que je pourrais comprendre.

[Flyingsquirrel]

Bon, fait péter le résultat, je trouve pas, et je pense pas que je vais trouver. Ca sera au moins la correction que je pourrais comprendre.

Voie le message #126 de cette discussion. (je pensais que tu l'avais lu, c'est pour ça que j'ai utilisé cet exemple )

[inviteec581d0f]

Bon, fait péter le résultat, je trouve pas, et je pense pas que je vais trouver. Ca sera au moins la correction que je pourrais comprendre.

[invitec053041c]

Bon, fait péter le résultat, je trouve pas, et je pense pas que je vais trouver. Ca sera au moins la correction que je pourrais comprendre.

C'est pas le genre d'intégrale qu'on trouve avec l'intuition. Et le "truc" utilise est "inédit".
Pour être honnête, on peut vraiment comprendre ce calcul qu'à a fin de la sup, voire pendant la spé.

Cordialement.

[invite85d09bae]

Merci, en fait je ne suivais pas le post et j'ai pas eu le courage de tout lire, je ne suis pas remonté avant la page 9! Effectivement, j'ai un peu du mal à comprendre !

Et désolé pour ceux qui ont perçu une pointe d'aggressivité dans mon message un peu plus haut !

[Flyingsquirrel]

Une primitive facile pour celui qui connait bien les formules de trigonométrie :

[invitec053041c]

Une primitive facile pour celui qui connait bien les formules de trigonométrie :

Je l'ai déjà donnée .
(et au moins 2 méthodes ont été rédigées).

[invitec053041c]

Une sympatique pour la route:


Soient a et b 2 réels, a<b, et m et n deux entiers > 0.

Donner, en fonction de a,b,n,m l'expression de :



La réponse au cas où je ne serai pas là pour vérifier (modulo mes erreurs, mais un ou 2 tests particuliers furent concluants ):

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[Calvert]

Au signe près, j'ai comme toi. Mais je l'ai faite rapidement, donc je te laisse le bénéfice du doute sur ce signe.