Dérivabilité sur [a;b]

[invite463c11e4]

Bonsoir, on peut facilement montrer qu'une fonction est dérivable en un point a, mais comment prouver qu'une fonction est dérivable sur tout un intervalle [a;b] ?

Merci.
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[invite2319362d]

Salut,

La méthode est la même (calcul de la limite du taux d'accroissement), mais au lieu de s'intéresser à un point a, on s'intéresse à x appartenant à [a;b].

Pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point a, on fait le calcul de la limite du taux d'accroissement, et si cette limite existe et est finie, alors on dit que la fonction est dérivable en ce point, et la valeur de la limite est le nombre dérivé noté f '(a).
Pour x appartenant à [a;b], le calcul de limite donne donne une fonction notée f '(x) qui est la fonction dérivée de f.

Benjamin

[GalaxieA440]

Par définition elle est dérivable sur l'intervalle si elle l'est en tout point de l'intervalle. Ainsi si la dérivée existe sur l'intervalle donné, la fonction est dérivable sur cet intervalle.

Me semble que ça suffit, mais attend peut être l'avis des chefs

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[Scorp]

Salut,

La méthode est la même (calcul de la limite du taux d'accroissement), mais au lieu de s'intéresser à un point a, on s'intéresse à x appartenant à [a;b].

Pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point a, on fait le calcul de la limite du taux d'accroissement, et si cette limite existe et est finie, alors on dit que la fonction est dérivable en ce point, et la valeur de la limite est le nombre dérivé noté f '(a).
Pour x appartenant à [a;b], le calcul de limite donne donne une fonction notée f '(x) qui est la fonction dérivée de f.

Benjamin

Je mettrais une nuance à cela sur le fait qu'il faut que la limite existe est soit unique, c'est à dire la même pour x tend vers a par des valeurs inférieures, et x tend vers a par des valeurs supérieures.
L'exemple est bien sur la fonction f(x)=valeur_absolue(x) en 0.
On a pour des valeurs inférieures : f '(x=0)=-1
et pour des valeurs supérieures : f '(x=0)=+1
Conclusion : f n'est pas dérivable en 0 alors que la limite existe (mais elle n'est pas unique)
Sinon c'est ca, il suffit de le vérifier pour tous les x de [a,b]

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Conclusion : f n'est pas dérivable en 0 alors que la limite existe (mais elle n'est pas unique)

Justement la limite n'existe donc pas, et on ne peut parler que de limite par valeur inférieure, et limite par valeur supérieure.

[invite463c11e4]

Je résume pour voir si j'ai bien compris :

quand on calcul la fonction dérivée de f, on calcule la limite du taux d'accroissement en X avec un pas de H quand H tend vers 0.

Et, le domaine de définition de f'(x) est le même que le domaine de dérivabilité de la fonction f ?

Merci.

[GalaxieA440]

Et, le domaine de définition de f'(x) est le même que le domaine de dérivabilité de la fonction f ?

Non

Cf : la fonction

[invite463c11e4]

Si

alors

Or et d'après mon cours, f est dérivable sur

Donc là le domaine de définition de f' c'est bien le domaine de dérivabilité de f non ?

Merci

[invite425270e0]

Ah oui c'est vrai, en fait GalaxieA440 a confondu domaine de définition de la fonction f et domaine de dérivabilité... et

Enfin je crois ^^

[GalaxieA440]

yep

Le truc c'est qu'une fonction n'est pas forcément dérivable sur son domaine de définition. Je coryais que c'était ça la question...

[invite463c11e4]

ok merci à tous