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Problème de maths: où est l'erreur?



  1. #1
    Gun Fly

    Unhappy Problème de maths: où est l'erreur?

    Salut,
    je reste bloqué à un exercice d'arithmétique de terminale S sur les complexes.
    Voici l'énoncé:

    "Résoudre l'équation z^4 + z² +1 =0 dans C"



    A priori rien de compliqué me direz vous, il suffit de poser Z=z²;oui sauf que je ne trouve pas logique la solution proposée:

    "Z1=(-1-i*racine3)/2 et Z2=Z1barre (jusque là je précise que ça va, j'ai trouvé).

    Par conséquent, on a aussi Z1=exp(-2i*pi/3) et Z2=exp(2i*pi/3).

    Comme Z=z², alors on obtient z²-Z=0 d'où dans le cas des solutions trouvées:
    (z1)²-exp(2i*pi/3)=0 ce qui nous amène à une identité remarquable aboutissant à quatre solutions (si on procède de même avec Z2):

    z1=-exp(-i*pi/3)=-1/2+i*racine3/2
    z1'=-z1
    z2=-exp(i*pi/3)=-1/2-i*racine3/2
    z2=-z2

    Le problème, c'est que Z=z² donc on devrait avoir z1=racineZ1=racine((-1-i*racine3)/2) (et de même pour les trois autres solutions) or ce n'est pas le cas.
    Où est l'erreur?

    De plus, j'aimerais que vous m'indiquiez l'erreur dans ce calcul-ci:
    racine(-1/2-i*racine3/2)
    =racine(i²(1/2+i*racine3/2))
    =i*racine(1/2+i*racine3/2)
    =i*racine(i(-i*1/2+racine3/2)
    =i*racine(i²(-1/2-i*racine3/2)
    =i*i*racine(-1/2-i*racine3/2)
    = - racine(-1/2-i*racine3/2)

    Il y a un truc qui ne va pas, mais quoi??

    Merci d'avance pour votre aide (je l'espère...)

    -----


  2. #2
    taladris

    Re : Problème de maths: où est l'erreur?

    Citation Envoyé par Gun Fly Voir le message
    Salut,
    je reste bloqué à un exercice d'arithmétique de terminale S sur les complexes.
    Voici l'énoncé:

    "Résoudre l'équation z^4 + z² +1 =0 dans C"



    A priori rien de compliqué me direz vous, il suffit de poser Z=z²;oui sauf que je ne trouve pas logique la solution proposée:

    "Z1=(-1-i*racine3)/2 et Z2=Z1barre (jusque là je précise que ça va, j'ai trouvé).

    Par conséquent, on a aussi Z1=exp(-2i*pi/3) et Z2=exp(2i*pi/3).

    Comme Z=z², alors on obtient z²-Z=0 d'où dans le cas des solutions trouvées:
    (z1)²-exp(2i*pi/3)=0 ce qui nous amène à une identité remarquable aboutissant à quatre solutions (si on procède de même avec Z2):

    z1=-exp(-i*pi/3)=-1/2+i*racine3/2
    z1'=-z1
    z2=-exp(i*pi/3)=-1/2-i*racine3/2
    z2=-z2
    Pas de problème dans cette solution. S'il n'y a pas d'erreur logique, c'est que c'est le bon résultat

    Le problème, c'est que Z=z² donc on devrait avoir z1=racineZ1=racine((-1-i*racine3)/2) (et de même pour les trois autres solutions) or ce n'est pas le cas.
    Où est l'erreur?
    Le souci, c'est qu'un nombre complexe non nul a deux racines carrées.
    En effet, par définition, une racine carrée d'un nombre b est un nombre a tel que a²=b. Il est donc racine du ploynôme de degré 2 X²-b qui a bien deux racines (réelles ou complexes) opposées
    Si a est réel, on voit facilement que ses racines carrées sont réelles et opposées, donc on parle de LA racine carrée de a en choisissant par convention la racine positive. On ne peut pas faire un tel choix pour les nombres complexes.
    L'écriture z1=racineZ1=racine((-1-i*racine3)/2) n'a donc pas de sens.

    De plus, j'aimerais que vous m'indiquiez l'erreur dans ce calcul-ci:
    racine(-1/2-i*racine3/2)
    =racine(i²(1/2+i*racine3/2))
    =i*racine(1/2+i*racine3/2)
    =i*racine(i(-i*1/2+racine3/2)
    =i*racine(i²(-1/2-i*racine3/2)
    =i*i*racine(-1/2-i*racine3/2)
    = - racine(-1/2-i*racine3/2)

    Il y a un truc qui ne va pas, mais quoi??

    Merci d'avance pour votre aide (je l'espère...)
    racine(z) n'a pas de sens pour z complexe et on obtient ce genre de résultat bizarre en essayant de le manipuler.


    J'espère avoir été clair
    Cordialement
    Dernière modification par taladris ; 17/08/2008 à 12h04.

  3. #3
    Gun Fly

    Re : Problème de maths: où est l'erreur?

    Merci de ton aide, c'est très clair.
    Mais si j'écris racine(-1-3x)=racine(i²(1+3x)) avec x réel, cela n'a t il pas de sens non plus? Je veux dire, quand on écrit au sujet d'un discriminant que delta=-25=25i², cela veut bien dire que racine(delta)=racine(25i²)=5i, non?

    Sinon, autre question "pratique": quelqu'un connaîtrait il un logiciel gratuit téléchargeable qui puisse me permettre d'écrire des caractères mathématiques grâce à un unique bouton? Parce que là franchement ça saoule d'écrire "racine", "delta" et compagnie...

  4. #4
    taladris

    Re : Problème de maths: où est l'erreur?

    Oups! Il fallait lire: "Si a est réel POSITIF, alors ses racines sont réels opposées" dans mon précédent message. (Si a est négatif, ses racines sont imaginaires purs)

    racine(-1-3x) n'a de sens que si (-1-3x) est réel positif. Dans ce cas, racine(-1-3x) a le sens défini précédemment pour les réels positifs (ie l'unique réel positif a tel que a²=-1-3x) et ton égalité est vraie.

    Pour le logiciel, tu peux utiliser LyX, je crois qu'il est gratuit.

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