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Spé Math : Divisibilité



  1. #1
    bamboum

    Spé Math : Divisibilité


    ------

    Bonjour,

    Je me heurte actuellement à un exercice de spé math, j'ai regardé dans la liste des corrigés mais je n'ai rien trouvé.

    Voici la consigne :

    On nous demande premièrement de développer (a + b)3, facile, ensuite :

    Démontrer que 3 divise a3 + b3 si, et seulement si, 3 divise (a + b)3.

    Ils conseillent de le faire en deux étapes :
    - démontrer que si 3 divise a3 + b3 alors 3 divise (a + b)3.
    - et inversement, démontrer que si 3 divise (a + b)3 alors 3 divise a3 + b3.

    J'ai essayé pas mal de choses dans les deux cas, mais sans succès, pouvez-vous me donner une piste à suivre.

    Merci d'avance

    Bamboum

    -----

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  4. #2
    MiMoiMolette

    Re : Spé Math : Divisibilité

    Salut !

    Utilise les indices qu'on te donne en remarquant que si 3 divise un nombre n alors il existe un entier k tel que n=3k
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #3
    bamboum

    Re : Spé Math : Divisibilité

    C'est ce que j'ai fais :

    a3 + b3 = 3k,

    Mais de là, comment passer à (a + b)3 = 3k' ???

  6. #4
    MiMoiMolette

    Re : Spé Math : Divisibilité

    Citation Envoyé par bamboum Voir le message
    C'est ce que j'ai fais :

    a3 + b3 = 3k,

    Mais de là, comment passer à (a + b)3 = 3k' ???
    Sers-toi du développement de (a+b)^3
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    bamboum

    Re : Spé Math : Divisibilité

    J'ai l'ai aussi fais :

    a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = 3k

    Je désire avoir quelque chose de la forme :
    a3 + b3 = 3k'

    Je fais donc :

    a3 + b3 = 3k - ( 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 )

    Mais je ne parviens pas à factoriser le terme de droite pas 3.

  9. #6
    MiMoiMolette

    Re : Spé Math : Divisibilité

    Citation Envoyé par bamboum Voir le message
    J'ai l'ai aussi fais :

    a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = 3k

    Je désire avoir quelque chose de la forme :
    a3 + b3 = 3k'

    Je fais donc :

    a3 + b3 = 3k - ( 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 )

    Mais je ne parviens pas à factoriser le terme de droite pas 3.
    C'est bien ce qu'il me semblait

    2a²b+ba²=... ?
    2ab²+ab²=... ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  11. #7
    bamboum

    Re : Spé Math : Divisibilité

    C'était si simple que ça, merci beaucoup !!!!

  12. #8
    bamboum

    Re : Spé Math : Divisibilité

    J'ai donc réussi à prouver que si 3 divise (a + b)3 alors 3 divise a3 + b3.

    Mais l'inverse me pose problème, prouver que :
    si 3 divise a3 + b3 alors 3 divise (a + b)3.

    Je pose :
    a3 + b3 = 3k

    Mais je bloque, avez-vous une idée ?

  13. #9
    -Zweig-

    Re : Spé Math : Divisibilité

    Salut,

    Comme t'alleurs, on utilise le développement de

    Nous avons et par hypothèse . Tu conclus ensuite avec une propriété de ton cours .

  14. #10
    bamboum

    Re : Spé Math : Divisibilité

    Je vois quelle propriété de mon cours, merci.

    Je vous tiens au courant !

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