Etude des variations d'une fonction

[invite323995a2]

Bonjour, je suis en Terminale S et j'ai mon premier DM. J'ai un petit problème parce que beaucoup de questions ont leur réponse dans mon cours de seconde..et je ne retrouve pas mon cahier.

Je pense avoir trouver la réponse mais je demande une vérification.

Voici le sujet: f définie sur R+ par f(x)= 6x/ (x+2)

Démontrer que f est strictement croissante sur R+

F'(x)= 12/ (x+2)² or (x+2)² toukours positive donc la dérivée est toujours positive en R+ . Donc la fonction est strictement croissante sur R+.

Le raisonnement est-il juste? Y'a t-il un autre moyen pour étudier les variations d'une fonction ( après ces longues vacances je ne me souviens plus de rien)

Et j'ai une deuxième question qui est résoudre dans R+ l'inéquation f(x)> x .

Je crois avoir trouver on soustrait f(x) à x on trouve x(4-x) / (x+2) .

Or x(4-x) / (x+2) > 0 quand x>-2 ,x> -4 , x> 0 .
Donc quand x positif , f(x)> x.
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[Jeanpaul]

Calculer la dérivée est en général le moyen le plus simple et le plus universel pour montrer qu'une fonction est croissante.
Ici on aurait pu remarquer que f(x) = 6 - 12/(x+2) et dire que :
x+2 est croissant
1/(x+2) est décroissant
12/(x+2) est décroissant
- 12/(x+2) est croissant
6 - 12/((x+2) est croissant
Un peu lourd, non ?

Pour la fin, je ne vois pas comment tu peux dire que (4-x) est positif dès que x est positif. Essaie 5 par exemple.

[invite323995a2]

Justement jean paul comment puis-je démontrer pour la dernière.

[Jeanpaul]

Au lieu de calculer f(x) - x et dire que c'est positif, si tu calculais f(x)/x en disant que c'est plus grand que 1.
Comme x est positif et x+2 aussi, c'est simple.

[A voir en vidéo sur Futura]