Fonction exponentielle (TS)

[invite12725b81]

Bonjour bonjour !
je sais que ce site n'est pas la pour résoudre des exercices comme ça... mais j'ai vraiment besoin d'aide...
Alors si vous avez un peu de temps et de patience pour m'aider avec ce gros problème qu'est pour moi cet exercice... cela serai juste génial!
Merci d'avance! (je poste à la suite les quelques trucs auquel je pense!)

Le voici :

1.a) On considère la fonction £ définie sur R par £(x) = e^x - (1+x). Etudier les variations de cette fonction.
b) En deduire que pour tout réel, 1+x<= e^x (1)

c) A partir de l'inegalité (1) montrer que pour tout réel x<1, e^x <= 1/(1-x) (2)

2. n est un entier naturel non nul.
a) Déduire de l'inégalité (1) que (1+1/n)^n <= e
b) Déduire de l'inégalité (2) que e <= (1+1/n)^(n+1)

3. On considère la suite u définie pour tout entier n>=1 par : u(n) = (1+1/n)^n

a) Démontrer que pour tout entier n>=1 , 0<= e-u(n) <= 3/n
b) En déduire que la suite u(n) converge vers e.
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[invite12725b81]

Alors voila :

1.a) £(x) = e^(x) - (1+x)
= e^(x) -1 -x

Ensuite j'ai calculé la dérivée :
£'(x) = e^(x) -1

Puis j'ai dérivé une deuxième fois :
[£'(x)]' = e^(x)

[£'(x)]' >0 sur ]-infini;+infini[
Donc £'(x) croissante sur ]-infini;+infini[, lim qd x-> -inf

[invite0022ecae]

Tu en es où dans cet exo?

[invite12725b81]

Alors voila :

1.a) £(x) = e^(x) - (1+x)
= e^(x) -1 -x

Ensuite j'ai calculé la dérivée :
£'(x) = e^(x) -1

Puis j'ai dérivé une deuxième fois :
[£'(x)]' = e^(x)

[£'(x)]' >0 sur ]-infini;+infini[
Donc £'(x) croissante sur ]-infini;+infini[, lim qd x-> -inf = -1
Et £'(0) = 0

Ainsi sur ]-inf;0[, £'(x)<0
et sur ]0;+inf[, £'(x)>0

Alors £(x) décroissante sur ]-inf;0[ et croissante ]0;+inf[





[En fait je suis bloquée à partir de la question 1.c) pas terrible =(]

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Et ensuite ?

[invite12725b81]

Alors pour 1.b)

£(x)>=0 car £(x) possède un minimun en £(0)=0, car la dérivée s'annule et change de signe.

£(x)>=0 soit e^(x) - (1+x) >=0
ainsi e^(x) >= 1+x

[invite12725b81]

Et sinon je pensais pour la 3.a) utiliser le raisonnement par récurence...
Vous en pensez quoi ?

parce que pour le moment :
1ere etape:
avec n=1; u(1)=(1+1/1)^n
u(1)=2 or e~2,71
Ainsi 0<= e-u(1) <= 3
Donc propriété vérifié !

2e etape:
On suppose qu'il existe u(k) (avec k>=0) tel que 0<= e-u(k) <= 3/k
Ainsi u(k)= (1+1/k)^k
-> que peut on dire de u(k+1) ?

u(k+1)=[1+1/(k+1)]^(k+1)

Et la je ne m'en sort pas du tout... =(

Alors si vous pouviez juste me donner une petite piste pour me décoincer... (mais si vous avez le temps bien sur !)
Mercii.