Vrai/Faux et équation différentielles

[thomas5701]

Bonjour à tous, voilà j'ai un exercice à faire, mais je n'arrive pas une des questions. La consigne est de répondre par vrai ou faux avec justifications.


Si f est solution sur IR de l'équation y'=2y-2, alors la courbe représentative de f admet la droite d'équation y=-1 pour asymptote.


J'ai tout d'abord calculer la fonction solution:

f= k*exp(2x) + 1

Mais je ne sais pas quoi faire avec ça maintenant. Quelqu'un pourrait m'aider?

Merci d'avance !!
-----

[invite0022ecae]

Ce serait pas plutot la droite y=1 ?

[invite0022ecae]

ou alors c'est faux car lim(f(x)-(-1)) en -infini=2 et et en +infini=+infini
Par contre

lim(f(x)-1)=0 en -infini donc la droite y=1 est asymptote

[thomas5701]

Je n'ai jamais vu les formules avec les asymptotes, voilà pourquoi je bloque.

Mais si tu prends la lim k*exp(2x)+1 quand x tend vers 0 c'est pas plutôt égal à k+1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

lim (x tend vers 0) de (f(x ) - (équation de l'asymptote)) et si c'est =0 ben cela veut dire que c'est l'asymptote, seulement dans ce cas, ça nous fait une asymptote d'équation y=k+1.

Donc si on veut y=-1 il nous faut k=-2.

Vérifions si c'est possible avec k=-2 :

y'=2y-2

y'= 2k*exp(2x)
y'=-4exp(2x)

y=-2*exp(2x) + 1




y'=2y-2
y'=2(-2*exp(2x) + 1) -2
y'=-4exp(2x) +2-2
y'=-4exp(2x) Donc équation vérifier pour k=-2.

On peut donc dire que l'équation de l'asymptote est y=k+1 donc y=-1

Alors réponses vrai

[invite0022ecae]

lim (x tend vers 0) de (f(x ) - (équation de l'asymptote)) et si c'est =0 ben cela veut dire que c'est l'asymptote, seulement dans ce cas, ça nous fait une asymptote d'équation y=k+1.

Alors là il faut m'expliquer

[invite0022ecae]

y'=2y-2

y'= 2k*exp(2x)
y'=-4exp(2x)

y=-2*exp(2x) + 1




y'=2y-2
y'=2(-2*exp(2x) + 1) -2
y'=-4exp(2x) +2-2
y'=-4exp(2x) Donc équation vérifier pour k=-2.

On peut donc dire que l'équation de l'asymptote est y=k+1 donc y=-1

Alors réponses vrai

çà aussi d'ailleurs ???

[invite546363e8]

tu dois tout d'abord verifier si y=-1 est vraiment asymptote de f ou non:
est donc étudier la fct f= k*exp(2x) + 1.
f '=2k*exp(2x) à qui la variation dans lR dépend du paramètre k.
avans tou un ensemble de definition Df=IR.
f l--->f(x) est-il continue?
ET c'est le cas.
ce la de IR vers ou bien IR+ ou IR- celan k. donc pas dans tout les cas f(x)<0.
cequi montre que même si c'est possible ca ne l'est pas en tout cas.

[thomas5701]

Dsl mais j'avais mal compris une formule, c'est pour ça que c'est tout faux. C'était un raisonnement que j'ai fait en 2minute donc voilà, c'était sans réfléchir. Maintenant j'ai trouvé se qu'il fallait faire.

Étudier la limite en infini de f(x)-(équation de l'asymptote) et si dans aucun cas ça s'annule, alors l'affirmation sera fausse.

Merci.