TS spé math: congruence et recurence

[invite078ae904]

Bonsoir, j'ai un exo a faire et apres 1h30 de travail je n'y arrive toujours pas... pourriez vous m'aider svp ?

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La suite Un est définie pour tout entier n par U_n = 5n³ + n.
L'exercice propose de démontrer par deux méthodes que pour tout n, Un est divisible par 6.

1)Demo par recurrence:

a) Vérifiez que pour tout n :
U_n+1 - U_n = 3[5n(n+1)+2]

b) Démontrez par recurrence que opour tout n, U_n est divisible par 6.


2) Démontrer que pour tout n, U_n est divisible par 6 en utilisant les congruences.



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Alors voila, jusqu'a 1) a), c'est assez simple, mais pour 1) b) et 2), je ne sais pas du tout quoi faire !
Merci d'avance.
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[Arkangelsk]

Bonsoir,

Une petite piste pour le 2) :

1^3 ≡ 1[6]
2^3 ≡ 2[6]
3^3 ≡ 3[6]

etc …

Tu peux montrer tout d'abord que pour tout n, n^3 ≡ n[6]

≡ : est congru à

[invite8a003157]

1.b) Montrer que 5n(n+1)+2 est pair. S'il l'est, alors U(n+1)-U(n) est divisible par 2 et 3, qui sont premiers entre eux, donc...
La récurrence: i) Amorce: U(0) est divisible par 6. ii) Hypothèse de récurrence: U(n) est divisible par 6. iii) Propagation de la propriété: Si U(n) et U(n+1)-U(n) sont divisibles par 6, qu'en est-t'il de U(n+1)?

2) L'idée d'Arkangelsk est bonne, mais démontrer que n^3 ≡ n[6] se fait encore par récurrence. On peut aussi simplement montrer que U(n) écrit sous la forme U(n) = n(5n²+1) est pair et divisible par 3. Indication pour établir la divisibilité par 3: Poser n = 3k, puis 3k+1 et 3k+2 et remplacer dans l'expression de U(n).

[Arkangelsk]

2) L'idée d'Arkangelsk est bonne, mais démontrer que n^3 ≡ n[6] se fait encore par récurrence

Pas obligatoirement, par exemple : n^3 ≡ n[6] équivaut à (n-1)n(n+1) = 6k, où k est un entier.

(n-1)n(n+1) est divisible par 3, (n-1)n est divisible par 2, donc (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a003157]

Exact Arkangelsk. J'ai parlé un peu vite. Désolé.

[Arkangelsk]

Salut,

@ aligator250 : De rien
@ megalex97 : Pour les exercices de ce type sur les congruences, il est souvent utile de "regarder ce qui se passe" pour quelques valeurs de n afin d'avoir une piste.

Arkangelsk