Congruence

[invite85cbd581]

Bonjour,
j'ai quelque problème pour un devoir sur les congruence, voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel n >ou égale à 1, o pose :
u_n=1+3+3²+...+3^n-1

1) a) Démontrez que :
si u_ncongrue a 0(mod 7), alors 3ⁿ-1 congrue a 0(mod 7)

b)Réciproquement, démontrez que :
si 3ⁿ-1=0, alors 2u_n congrue à 0(mod 7) puis à l'aide d'un tableau de congruence, déduisez-en que u_n congrue à 0(mod 7)

2) Déduisez-en les valeurs de n pour lesquelles u_n est divisible par 7.



alors, la 1 a j'ai réussi, et je pense qu'il y a une erreur dans la 1b pouvez vous me le confirmé ?
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[invitea3eb043e]

Non, pas d'erreur mais une subtilité qui est qu'il faut faire attention quand on divise une congruence.
Ainsi si 2 a est congru à 0 modulo 8, ça ne veut pas dire que a est congru à zéro modulo 8, par exemple a = 12. Ca marcherait modulo 7 et c'est assez simple à voir.

[invite85cbd581]

Oui pour la division par 7 c'est bon j'ai pigé le truc c'est 1 = 7 -3x2

mais c'est pas pour sa que je pose la question je me demander si a la place de 3^n-1=0 fallait pas mettre 3^n-1 congrue a 0 ? ainsi on demontre bien la reciproque. (contrairement à avant ou on démontrer que lorsque n=0, Un congrue à 0(mod 7) ) Pour ensuite pouvoir dire a la question 2, que Un est divisible par 7 lorsque 3^n-1 est divisible par 7.

[invitea3eb043e]

Clair qu'il ne fallait pas lire 3^n - 1 = 0 mais congru à zéro.
Ensuite il faut voir quand 3^n est congru à 1 modulo 7, ce qui se fait en regardant les congruences des puissances de 3 modulo 7.

[A voir en vidéo sur Futura]