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Congruence



  1. #1
    Morz

    Congruence

    Bonjour,
    j'ai quelque problème pour un devoir sur les congruence, voici l'énoncé :

    Pour tout entier naturel n >ou égale à 1, o pose :
    un=1+3+3²+...+3n-1

    1) a) Démontrez que :
    si uncongrue a 0(mod 7), alors 3n-1 congrue a 0(mod 7)

    b)Réciproquement, démontrez que :
    si 3n-1=0, alors 2un congrue à 0(mod 7) puis à l'aide d'un tableau de congruence, déduisez-en que un congrue à 0(mod 7)

    2) Déduisez-en les valeurs de n pour lesquelles un est divisible par 7.



    alors, la 1 a j'ai réussi, et je pense qu'il y a une erreur dans la 1b pouvez vous me le confirmé ?

    -----


  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Congruence

    Non, pas d'erreur mais une subtilité qui est qu'il faut faire attention quand on divise une congruence.
    Ainsi si 2 a est congru à 0 modulo 8, ça ne veut pas dire que a est congru à zéro modulo 8, par exemple a = 12. Ca marcherait modulo 7 et c'est assez simple à voir.

  3. #3
    Morz

    Re : Congruence

    Oui pour la division par 7 c'est bon j'ai pigé le truc c'est 1 = 7 -3x2

    mais c'est pas pour sa que je pose la question je me demander si a la place de 3^n-1=0 fallait pas mettre 3^n-1 congrue a 0 ? ainsi on demontre bien la reciproque. (contrairement à avant ou on démontrer que lorsque n=0, Un congrue à 0(mod 7) ) Pour ensuite pouvoir dire a la question 2, que Un est divisible par 7 lorsque 3^n-1 est divisible par 7.

  4. #4
    Jeanpaul

    Re : Congruence

    Clair qu'il ne fallait pas lire 3^n - 1 = 0 mais congru à zéro.
    Ensuite il faut voir quand 3^n est congru à 1 modulo 7, ce qui se fait en regardant les congruences des puissances de 3 modulo 7.

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