DM sur les nombres complexes

[invite5d4d01c6]

On considère le nombre u= cos ( 2pi/7) + i sin ( 2pi/7)
On pose S=u + ucarré + u^4 et T= u^3 + u^5 + u^6

1.a simplifier u7
b. calculer la somme 1 + u + .... + u^6
c. Calculer le produit u ucarré u^3 ... u^6
2.a montrer que S et T sont deux nombres complexes conjugués
b. Donner la valeur de S+T et S x T
c. Démonter que la partie imaginaire de S est positive
d. En déduire les valeurs exactes de S et T

3.a calculer la somme sin(2pi/7) + sin (4pi/7) + sin ( 8pi/7)
b . Développer le polynome P(z) = ( 1 - z ) ( 1-z carré) ( 1 - z^4)
en déduire la valeur exacte de P(u)
c. En calculant de deux facons differentes le module de P(u) , déterminer la valeur exacte du produit
sin ( 2pi/7) x sin ( 4pi /7) x sin ( 8 pi / 7 )


j'ai reusi jusqu'à la question 2.c
pouvez vous m'aider ??
je bloque sur la question 2.d

S et T sont conjugué l'un de l'autre
donc S = x + iy et T = x -iy
et donc S+T = 2x => x = (S+T)/2
et donc S*T = x² + y² = 1
=> y² = 1 - x² = 1 - (S+T)²/4


ce qui fait :
x = cos (2pi/7) +cos ( 4pi/7) +cos ( 6pi/7)
ycarré = 1 - ( S+T)carré /4
= 1 - (2 ( cos 2pi/7) + cos ( 4pi/7) + cos (6pi/7) ) carré/4
= 1 - 4 ( cos 2pi/7) +cos ( 4pi/7) + cos ( 6pi/7) carré /4
1- ( cos 2pi/7) +cos ( 4pi/7) +cos ( 6pi/7) carré


et je bloque a partir de la .
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
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[invite57a1e779]

L'idée c'est de partir de la définition : et , donc que tu peux calculer de façon simple avec la question 1.
Tu fais la même chose pour .
Tu as alors à calculer deux nombres dont tu connais la somme et le produit.

[invite5d4d01c6]

j'ai trouvé que S= cos ( 2pi/7) +isin ( 2pi/7) + cos ( 4pi/7) + isin ( 4pi/7) + cos 6pi/7 - isin 6pi/7
T= cos 6pi/7 + isin 6pi/7 + cos 4pi/7 +isin 4pi/7 + cos 2pi/7 - isin 2pi/7


S+T= 2( cos ( 2pi/7) + cos ( 4pi/7) + cos ( 6pi/7)
S x T = 2 ( cos ( 2pi/7) + cos ( 4pi/7) + cos ( 6pi/7) +1)

j'arrive pas a simplifier
pouvez vous m'aider

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Peut-être suis-ja à côté de la plaque mais quand je vois

S= cos ( 2pi/7) +isin ( 2pi/7) + cos ( 4pi/7) + isin ( 4pi/7) + cos 6pi/7 - isin 6pi/7
T= cos 6pi/7 + isin 6pi/7 + cos 4pi/7 +isin 4pi/7 + cos 2pi/7 - isin 2pi/7

je pense à et les expressions de cos et sin en exponentielle complexe qui simplifieraient bien l'écriture me semble-t-il, non ?

Duke.

PS : je n'ai pas vérifié ton résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d4d01c6]

le probleme est que j'ai vu la formule de moivre mais pas encore les exponentielles

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Ce n'est pas forcément à apprendre mais à retrouver très vite.
Je m'explique :
On a : et
A partir de là,
si tu fais la somme membre à membre et tu obtiens très vite
si tu fais la différence membre à membre tu obtiens très vite

Voilà voilà.

Maintenant, il est peut-être possible de faire autrement...

Duke.

[invite57a1e779]

Je rappelle benoîtement mon message #2...

[invite5d4d01c6]

Mrci beaucoup pour votre aide
Maintenant j'ai reussi a faire presque tout le dm sauf la derniere question 3.C
Pouvez vous m'aider ?