Equations et inéquations exponentielles

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 14h50

Bonjour.

J'ai des résolutions à faire pour la rentrée. Il y en a quelques unes où je bloque.

Je vous les poste pour que vous me mettiez sur la bonne voie ^^

1) $\text{[math]}$

J'ai commencé à faire:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

2) Trouver l'ensemble de definition de
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si vous pouviez m'aider pour ces deux là, ça serait gentil

Merci et bonne journée

**Flyingsquirrel** · 27/10/2008, 15h21

Salut,

Envoyé par miss-jumbi

1) $\text{[math]}$

J'ai commencé à faire:

$\text{[math]}$

Si l'on suit ta logique, il est correct d'écrire $\text{[math]}$ . On a donc démontré que $\text{[math]}$ . Si l'on élève cette égalité au carré au obtient $\text{[math]}$ .

Le problème est que l'égalité $\text{[math]}$ est en général fausse.

Pour résoudre l'équation $\text{[math]}$ je te conseille de te débarrasser de la racine carrée en élevant tout simplement les deux membre de l'égalité au... carré.

2) Trouver l'ensemble de definition de
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Cette équation admet-elle de solutions ? (ça fait partie des propriétés classiques de la fonction exponentielle : est-ce que cette fonction s'annule ? )

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 15h34

Bonjour.

Envoyé par miss-jumbi

1) $\text{[math]}$

J'ai commencé à faire:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

2) Trouver l'ensemble de definition de
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

1. A revoir en suivant l'idée de Flyingsquirrel.

2. Cherchons les valeurs de x pour lesquelles e^x - e^-x = 0.
On factorise par e^x (ou e^-x ça marche aussi

), on a e^x(1-e^-2x).
Il reste à trouver la (les) valeur(s) de x qui font que ce produit s'annule. Il n'y a pas de piège.

Duke.

EDIT : e^x-e^-x n'a jamais fait e^2x. Il va falloir revoir le cours !

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 15h34

Ok pour la première.

Pour la deuxième, j'ai fouillé dans mon cour et j'ai trouvé $\text{[math]}$

Donc mon équation n'admet pas de solutions?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 15h41

je n'avais pas vu le post de Duke.. ^^

Merci bien, je vais revoir ça et relire mon cours par la même occasion ^^

**Flyingsquirrel** · 27/10/2008, 15h43

Envoyé par miss-jumbi

Pour la deuxième, j'ai fouillé dans mon cour et j'ai trouvé $\text{[math]}$

Donc mon équation n'admet pas de solutions?

Effectivement, $\text{[math]}$ n'admet pas de solution mais cette équation n'a (presque) rien à voir avec celle que l'on te demande de résoudre, cf le post de Duke Alchemist.

Flyngsquirrel (qui va, lui aussi, revoir son cours

)

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 17h55

encore une petite question .. ^^

j'ai plusieurs resolutions a faire du type

$\text{[math]}$

Je ne suis pas sûre de mon raisonnement. Donc j'ai d'abord réduit, ce qui me donne:

$\text{[math]}$

Puis je met en fraction:

$\text{[math]}$

Ce qui me donne une équation impossible.

invitea3eb043e · 27/10/2008, 18h05

Je te suggère gentiment de créer sur ton mur un tableau où il serait écrit que
exp(a) + exp(b) n'est PAS égal à exp(a+b)

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 18h10

Dans ce cas, je vois pas comment résoudre

invitea3eb043e · 27/10/2008, 18h21

Si tu arrives à te convaincre que
exp(a+b) = exp(a) * exp(b)
tu verras que exp(2x) = [exp(x)]² et que exp(x-1) = exp(x) / e
Tu verras alors apparaître une équation sympa si on pose que l'inconnue est
X = exp(x)

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 19h10

Envoyé par miss-jumbi

... ce qui me donne:

$\text{[math]}$

Puis je met en fraction:

$\text{[math]}$

Ce qui me donne une équation impossible.

Hormis le fait que ce n'est pas la bonne équation, peux-tu me dire en quoi cette équation est impossible ?

Sinon, avec les indications de JeanPaul, trouves-tu l'équation en X (avec X=e^x) ?

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 19h51

Non je n'y arrive pas.

Et puis je me suis trompée dans lénoncé: c'est x+1 et pas x-1.

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 20h03

Envoyé par miss-jumbi

Non je n'y arrive pas.

Et puis je me suis trompée dans lénoncé: c'est x+1 et pas x-1.

Cela ne change pas beaucoup l'exercice

$\text{[math]}$
Comme te l'as indiqué JeanPaul :
$\text{[math]}$ , c'est OK ?
$\text{[math]}$ c'est OK aussi ?

A partir de là, remplace tous tes $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .
Tu résouds en $\text{[math]}$ l'équation obtenue
et tu n'oublies pas de résoudre en $\text{[math]}$ à la fin...

invitea3eb043e · 27/10/2008, 20h05

Ca ne change rien à la méthode. Comme tu as l'air d'avoir vraiment du mal avec ton cours, on va t'en dire plus.
exp(2x) ça vaut exp(x) au carré
exp(x+1) ça vaut exp(x) * exp(1) soit e.exp(x)
Alors si tu poses X = exp(x) ça fait une équation assez simple à écrire et à résoudre.

PS. On fait de la télépathie avec Duke !

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 20h20

D'accord mais le 2exp je le laisse tel qu'il est?

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 20h23

Envoyé par miss-jumbi

D'accord mais le 2exp je le laisse tel qu'il est?

Vois-tu un x dans 2e ? Non donc...

2e est une constante au même titre que 2 ou e ou -56038530...

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 20h51

(ex)²-ex*e+2ex-2e = 0
X²-X*e+2X-2e = 0
X²+(2-e)X-2e = 0

Déjà est ce que ça c'est bon?

Merci de votre patience, c'est gentil

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 21h07

Envoyé par miss-jumbi

(ex)²-ex*e+2ex-2e = 0
X²-X*e+2X-2e = 0
X²+(2-e)X-2e = 0

Déjà est ce que ça c'est bon?

Merci de votre patience, c'est gentil

J'attends la résolution en X
celle en x viendra après

Mais il n'y a pas de quoi

Tant que de ton côté tu y mets de la volonté, je ne vois rien qui pourrait m' (nous ?) empêcher de t'aider

Le tout étant aussi que tu comprennes ce que tu fais.

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 21h24

Alors je fais le delta, ce qui me donne:
e²-4e+16

Ensuite je trouve les deux racines:
X = e-2 ou X = 1

Si c'est bon, j'attaque le x ^^

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 21h35

Je ne trouve pas ça pour le discriminant...
Ecris le calcul intermédiaire de $\text{[math]}$ pour voir.

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 21h43

alors..

b²-4ac
= (2-e)²-4*1*-2e
=4-4e+e²+8e
=e²+4e+4

C'est mieux?
(j'avais oublié le e du 2e, avec l'habitude de pas prendre le x.. )

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 21h48

Bien mieux

Et en plus c'est un carré "parfait". Cela peut être intéressant pour le calcul des racines

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 21h58

alors pour le X, je trouve -2 et e...

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 22h05

OK !
Comment fais-tu pour trouver x maintenant ?

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 22h08

alors pour le e:

X=ex
e=ex
donc
x=1

pour le -2
impossible car ex>0

**Duke Alchemist** · 27/10/2008, 22h13

Il reste à vérifier que 1 est bien solution de l'équation de départ... on ne sait jamais

A bientôt.
Cordialement,
Duke.

inviteb05bff37 · 27/10/2008, 22h14

A bientôt
Bonne soirée.

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