Problème nombres complexes

[invite86d2a51a]

salut,

j'ai un souci avec un exercice sur les nombres complexes , voila l'enoncé:

on considère le nombre complexe u=cos(2pi/7)+i sin(2pi/7). on pose

S=u+u^2+u^4 et T=u^3+u^5+u^6


et voici les questions

a) montrer que S et T sont 2 nbres complexes conjugués
b) déterminer la valeur de S+T et de SxT
c) démontrer que la partie imaginaire de S est positive
d) En déduire les valeurs exactes de S et T

j'ai réussit la a) mais pour le reste je ne vois pas comment faire. si quelqu'un pourrait m'aider.
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[Jeanpaul]

S+T n'est jamais qu'une somme d'une suite géométrique.
S*T est assez simple à calculer si on garde à l'esprit que
1 + u^2 + u^3+... u^6 = 0

[invite86d2a51a]

comment tu prouves que S+T est une suite geometrique

[Jeanpaul]

u c'est l'exponentielle complexe de i.2 pi/7 donc une puissance de e, complexe mais ça ne change rien. Range les facteurs de S + T et tu verras.
Je rectifie pour dire que c'est 1 + u + u² + ...u^6 qui vaut zéro

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86d2a51a]

quand tu additionne tes facteurs de s tu as exp(i 2pi/7)+exp(i 4pi/7)+etc... apres on obtient des cos et des sin avec la formule d'euler et c'est là le problème pour la question c) , on fait comment pour prouver que im(s)>0 alors que quand on calcule 2im(s) (S-T pcq T est le conjugué de S) on obtient sin(2pi/7)+sin(4pi/7)-sin(6pi)/7 , comment on fait pour prouver que ca c'est positif ???

[invite86d2a51a]

et explique moi comment tu trouves 1 + u + u² + ...u^6 =0 s'il te plait

[Jeanpaul]

C'est l'analogue de 1 + j + j² = 0 pour les racines cubiques de l'unité.
Ca vient du fait que u c'est exp(i 2 pi/7) donc que u^7 = 1 mais u n'est pas égal à 1.
donc 1 - u^7 = (1 - u) (1 + u + u² ....+u^6) = 0 et comme (1-u) n'est pas nul, c'est que c'est la somme qui est nulle.
Avec ça tu peux résoudre tout ton problème.

[invite86d2a51a]

je comprend pas comment on fait pour trouver ca 1 - u^7 = (1 - u) (1 + u + u² ....+u^6) et comment résoudre ce truc alors que je sais que résoudre l'équation du second degré aZ^2+bZ+c=0 mais pas les racines cubiques etc.

[invite86d2a51a]

il n'yaurait pas un moyen de simplifier les cos obtenus pour obtenir
-cos^2-sin^2=-1

[invite86d2a51a]

pour trouver 1 - u^7 = (1 - u) (1 + u + u² ....+u^6) on s'y prend comment???

[invite86d2a51a]

je crois que j'ai peut être trouvé la solution il faut poser (un)= U^n pour tout entier naturel , ensuite comme cette suite est geometrique , on peut calculer la somme de ses termes consécutifs avec la formule et donc on peut en déduire la réponse de la question

[invite86d2a51a]

ca parait logique???

[invite86d2a51a]

comment me conseillez vous de démontrer que Im(s)>0 et que S et T sont conjugués

[invite86d2a51a]

je bug pour calculer SxT

[invite86d2a51a]

c bon j'ai touvé SxT

[invite86d2a51a]

mais pour démontrer que Im(S)>0 comment s'y prendre?? parceque moi je pense a étudier le signe de S-T étant donné que T est le conjugué de S on a

S-T =2iIm(S)

donc si S-T >0 , Im(S)>0 mais ca n'a pas l'air d'aboutir avec cette méthode , y aurait il une autre methode ?