[exo] suites

[laaan]

Alors tout d'abord Bonjour !!
Je vous contacte parce que je bloque sur mes exos de maths à faire pendant les vacances ....

Les voici :

Exo 1 :

On considère la suite (un) définie par uo=1 et pour tout n Є N
un+1= Racine( 3un+4)

1)Démontrer que pour tout nЄN 1≤un≥4 et que la suite (un) est croissante .Que pouvez en déduire ?

2)Déterminer la limite de la suite (un)


Pour la 1 j'ai fait raisonnements par récurrence mais je ne sais pas si c'est la meilleure facon de faire ....
Pour la déduction , j'ai déduis que la suite (un) est croissante et converge vers un réel l £{1;4}


Exo 2 :


On pose pour n ≥ 1

un= 1 + 1⁄1! + 1⁄2! +....+1⁄n!

et vn=un + 1⁄nxn!


1) Vérifier que u1=2 et que v1= 3.

Calculer u2,u3,v2 et v3.

2)Montrer que (un) est strictement croissante et que (vn) est strictement décroissante .

3) Etudier lim quand n tend vers + l'infinie de 1⁄nxn!

En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes .

4a) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent vers le nombre e d'euler ( e=2,718 arrondi à 10 exposant -3 près )

Formulons l'hypothèse que e est rationnel , c'est a dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p⁄q

4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq

En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1

4b) Conclure que e est un nombre irrationnel .

J'espère avoir un minuscule coup de pouce !!
Merci de votre aide !!!
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[invite0e5404e0]

Bonjour !
Pour l'exo 1 :
Ca me semble bien ta solution pour la question 1. Pour la deuxième question, tu sais que la limite l de la suite (u_n) existe, il ne te reste qu'à la calculer en résolvant (formule qui doit traîner quelque part dans ton cours).
Pour l'exo 2 : tu bloques où?
Bon courage.

[laaan]

Ah j'pensais que ce n'était pas possible de mettre ca !!

POur le deuxieme exo je bloque à partir du 4 , je sais pas comment faire ...

[God's Breath]

4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq

En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1

La première inégalité provient de la monotonie des suites et .
La deuxième inégalité provient d'une réduction au même dénominateur dans la première inégalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[laaan]

oukaiiis merci mais ce n'est pas obligé de faire de raisonnement par récurrence j'ai esssayé mais je trouve ca trop lourd ...

merciii de votre aide !!

[God's Breath]

Une récurrence sur quoi ?

[laaan]

merci pour l'exercie 1

pour montrer que (un) est croissante j'ai fait

Le plus simple pour montrer la croissance est de faire un raisonnement par recurrence également.

Préliminaire: x --> f(x) = racine (3x+4) est croissante


Initialisation
on a u0=1 et u1= racine (7) donc u0 < u1

Si on suppose U(n) < U(n+1) comme f est croissante
f (U(n) < f(U(n+1) ce qui signifie que U(n+1) < U(n+2)
La propriété est héréditaire.

Cette méthode est souvent plus efficace que d'étudier le signe de la différence.

Comme la suite est croissante et majorée , elle converge vers un réel l. On peut préciser que l € [ 1 ; 4 ]
De plus comme f est continue: f( l ) =l

La résolution de l'équation f(x) =x te fournit l'unique valeur possible pour l: l=4
EXO 2

4- Un et Vn sont adjacentes donc Uq<p/q<Vq.
il suffit de supposer p/q plus grand que Vq et d'aboutir à une contradiction (idem pour p/q<Uq)????


5- oN ParT de l'inégalité Uq<p/q<Vq (c'est une inégalité stricte) et multiplie par qq!...on se rend compte que l'entier du mileu est strictement compris entre 2 entiers consécutifs, ce qui est absurde. ??

je ne suis pas du tout sur !!

Mercii de votre aideeeeeeeeeeee !!!!!!!!!