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[exo] suites



  1. #1
    laaan

    [exo] suites


    ------

    Alors tout d'abord Bonjour !!
    Je vous contacte parce que je bloque sur mes exos de maths à faire pendant les vacances ....

    Les voici :

    Exo 1 :

    On considère la suite (un) définie par uo=1 et pour tout n Є N
    un+1= Racine( 3un+4)

    1)Démontrer que pour tout nЄN 1≤un≥4 et que la suite (un) est croissante .Que pouvez en déduire ?

    2)Déterminer la limite de la suite (un)


    Pour la 1 j'ai fait raisonnements par récurrence mais je ne sais pas si c'est la meilleure facon de faire ....
    Pour la déduction , j'ai déduis que la suite (un) est croissante et converge vers un réel l £{1;4}


    Exo 2 :


    On pose pour n ≥ 1

    un= 1 + 1⁄1! + 1⁄2! +....+1⁄n!

    et vn=un + 1⁄nxn!


    1) Vérifier que u1=2 et que v1= 3.

    Calculer u2,u3,v2 et v3.

    2)Montrer que (un) est strictement croissante et que (vn) est strictement décroissante .

    3) Etudier lim quand n tend vers + l'infinie de 1⁄nxn!

    En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes .

    4a) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent vers le nombre e d'euler ( e=2,718 arrondi à 10 exposant -3 près )

    Formulons l'hypothèse que e est rationnel , c'est a dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p⁄q

    4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq

    En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1

    4b) Conclure que e est un nombre irrationnel .

    J'espère avoir un minuscule coup de pouce !!
    Merci de votre aide !!!

    -----

  2. #2
    Обуза

    Re : Besoin d'aide pour exos

    Bonjour !
    Pour l'exo 1 :
    Ca me semble bien ta solution pour la question 1. Pour la deuxième question, tu sais que la limite l de la suite (un) existe, il ne te reste qu'à la calculer en résolvant (formule qui doit traîner quelque part dans ton cours).
    Pour l'exo 2 : tu bloques où?
    Bon courage.
    Errare human est

  3. #3
    laaan

    Re : Besoin d'aide pour exos

    Ah j'pensais que ce n'était pas possible de mettre ca !!

    POur le deuxieme exo je bloque à partir du 4 , je sais pas comment faire ...

  4. #4
    God's Breath

    Re : Besoin d'aide pour exos

    Citation Envoyé par laaan Voir le message
    4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq

    En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1
    La première inégalité provient de la monotonie des suites et .
    La deuxième inégalité provient d'une réduction au même dénominateur dans la première inégalité.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    laaan

    Re : Besoin d'aide pour exos

    oukaiiis merci mais ce n'est pas obligé de faire de raisonnement par récurrence j'ai esssayé mais je trouve ca trop lourd ...

    merciii de votre aide !!

  7. #6
    God's Breath

    Re : Besoin d'aide pour exos

    Une récurrence sur quoi ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    laaan

    Re : Besoin d'aide pour exos

    merci pour l'exercie 1

    pour montrer que (un) est croissante j'ai fait

    Le plus simple pour montrer la croissance est de faire un raisonnement par recurrence également.

    Préliminaire: x --> f(x) = racine (3x+4) est croissante


    Initialisation
    on a u0=1 et u1= racine (7) donc u0 < u1

    Si on suppose U(n) < U(n+1) comme f est croissante
    f (U(n) < f(U(n+1) ce qui signifie que U(n+1) < U(n+2)
    La propriété est héréditaire.

    Cette méthode est souvent plus efficace que d'étudier le signe de la différence.

    Comme la suite est croissante et majorée , elle converge vers un réel l. On peut préciser que l € [ 1 ; 4 ]
    De plus comme f est continue: f( l ) =l

    La résolution de l'équation f(x) =x te fournit l'unique valeur possible pour l: l=4
    EXO 2

    4- Un et Vn sont adjacentes donc Uq<p/q<Vq.
    il suffit de supposer p/q plus grand que Vq et d'aboutir à une contradiction (idem pour p/q<Uq)????


    5- oN ParT de l'inégalité Uq<p/q<Vq (c'est une inégalité stricte) et multiplie par qq!...on se rend compte que l'entier du mileu est strictement compris entre 2 entiers consécutifs, ce qui est absurde. ??

    je ne suis pas du tout sur !!

    Mercii de votre aideeeeeeeeeeee !!!!!!!!!

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